Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1751

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\ctg^2x\,dx

Ответ:

-\ctg x-x+C, \qquad x\ne\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\sin x\ne0

. Используем тождество

1+\ctg^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}

Поскольку

d(\ctg x)=-\frac{dx}{\sin^2x}

, интеграл от первого слагаемого равен

-\ctg x

; из второго получается

-x

.
Следовательно,

\begin{aligned} \int\ctg^2 x\,dx &=\int\left(\dfrac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx =-\ctg x-x+C\end{aligned}