Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1749

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin^4x\,dx

Ответ:

\dfrac{3x}{8}-\dfrac{1}{4}\sin2x +\dfrac{1}{32}\sin4x+C

Решение

Дважды применим формулы понижения степени:

\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}, \qquad \cos^2(2x)=\dfrac{1+\cos4x}{2}

Тогда

\begin{aligned} \sin^4x &=\dfrac{1}{4}\bigl(1-2\cos2x+\cos^2(2x)\bigr)=\\ &=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right) =\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sin^4x\,dx &=\dfrac{3}{8}\int\,dx-\dfrac{1}{2}\int\cos2x\,dx +\dfrac{1}{8}\int\cos4x\,dx=\\ &=\dfrac{3x}{8}-\dfrac{1}{4}\sin2x +\dfrac{1}{32}\sin4x+C\end{aligned}