Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1748

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\cos^3x\,dx

Ответ:

\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C

Решение

Отделим один множитель

\cos x

и применим тождество

\cos^2x=1-\sin^2x

\cos^3x=\cos x\bigl(1-\sin^2x\bigr)

Так как

d(\sin x)=\cos x\,dx

, имеем

\begin{aligned} \int\cos^3x\,dx &=\int\bigl(1-\sin^2x\bigr)\,d(\sin x)=\\ &=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C\end{aligned}