Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1747

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1747

∫sin⁡3x dx\displaystyle\int\sin^3x\,dx.
Ответ:−cos⁡x+13cos⁡3x+C-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C

Решение

Отделим один множитель sin⁡x\sin x и воспользуемся тождеством sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x:sin⁡3x=sin⁡x(1−cos⁡2x)\sin^3x=\sin x\bigl(1-\cos^2x\bigr)Поскольку d(cos⁡x)=−sin⁡x dxd(\cos x)=-\sin x\,dx, получаем∫sin⁡3x dx=−∫(1−cos⁡2x) d(cos⁡x)==−cos⁡x+13cos⁡3x+C\begin{aligned}
\int\sin^3x\,dx
&=-\int\bigl(1-\cos^2x\bigr)\,d(\cos x)=\\
&=-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C
\end{aligned}
Демидович № 1747 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика