Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1746

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin\left(2x-\frac\pi6\right)\cos\left(3x+\frac\pi4\right)dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\cos\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right) -\dfrac{1}{10}\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{12}\right)+C

Решение

Применим формулу

2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)

Полагая

u=2x-\dfrac{\pi}{6}, \qquad v=3x+\dfrac{\pi}{4}

находим

u+v=5x+\dfrac{\pi}{12}, \qquad u-v=-x-\dfrac{5\pi}{12}

Так как синус является нечётной функцией,

\begin{aligned} \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) \cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right) &=\dfrac{1}{2}\bigl[\sin(u+v)+\sin(u-v)\bigr]=\\ &=\dfrac{1}{2}\left[ \sin\left(5x+\dfrac{\pi}{12}\right) -\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right) \right]\end{aligned}

Обозначим исходный интеграл через

I

. Следовательно,

\begin{aligned} I &=\dfrac{1}{2}\int\sin\left(5x+\dfrac{\pi}{12}\right)\,dx -\dfrac{1}{2}\int\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)\,dx=\\ &=-\dfrac{1}{10}\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{12}\right) +\dfrac{1}{2}\cos\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)+C\end{aligned}