Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1745

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\cos\frac x2\cdot\cos\frac x3\,dx

Ответ:

3\sin\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{5}\sin\dfrac{5x}{6}+C

Решение

Используем формулу

2\cos u\cos v=\cos(u-v)+\cos(u+v)

При

u=\dfrac{x}{2}

v=\dfrac{x}{3}

получаем

\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{3} =\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{x}{6}+\cos\dfrac{5x}{6}\right)

Тогда

\begin{aligned} \int\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{3}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\cos\dfrac{x}{6}\,dx +\dfrac{1}{2}\int\cos\dfrac{5x}{6}\,dx=\\ &=3\sin\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{5}\sin\dfrac{5x}{6}+C\end{aligned}