Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1744

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin3x\cdot\sin5x\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{4}\sin2x-\dfrac{1}{16}\sin8x+C

Решение

Применим формулу

2\sin u\sin v=\cos(u-v)-\cos(u+v)

Так как

\cos(-2x)=\cos2x

, имеем

\sin3x\sin5x =\dfrac{1}{2}\bigl(\cos2x-\cos8x\bigr)

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sin3x\sin5x\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\cos2x\,dx -\dfrac{1}{2}\int\cos8x\,dx=\\ &=\dfrac{1}{4}\sin2x-\dfrac{1}{16}\sin8x+C\end{aligned}