Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1743

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin x\sin(x+\alpha)\,dx

Ответ:

\dfrac{x\cos\alpha}{2} -\dfrac{1}{4}\sin(2x+\alpha)+C

Решение

Считаем

\alpha

постоянным. Используем формулу

2\sin u\sin v=\cos(u-v)-\cos(u+v)

При

u=x

v=x+\alpha

получаем

\sin x\sin(x+\alpha) =\dfrac{1}{2}\bigl(\cos\alpha-\cos(2x+\alpha)\bigr)

Поэтому

\begin{aligned} \int\sin x\sin(x+\alpha)\,dx &=\dfrac{\cos\alpha}{2}\int\,dx -\dfrac{1}{2}\int\cos(2x+\alpha)\,dx=\\ &=\dfrac{x\cos\alpha}{2} -\dfrac{1}{4}\sin(2x+\alpha)+C\end{aligned}