Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1742

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\cos^2x\,dx

Ответ:

\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\sin2x+C

Решение

Для чётной степени косинуса применим формулу понижения степени, полученную из

\cos2x=2\cos^2x-1

\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\cos^2x\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\,dx+\dfrac{1}{2}\int\cos2x\,dx=\\ &=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\sin2x+C\end{aligned}