Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1740

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1740

∫dx(x2+a2)(x2+b2)\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} (a2≠b2)(a^2\ne b^2).
Ответ:При ab≠0ab\ne01b2−a2(1∣a∣arctg⁡x∣a∣−1∣b∣arctg⁡x∣b∣)+C\dfrac{1}{b^2-a^2}
\left(
\dfrac{1}{|a|}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}
-\dfrac{1}{|b|}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|b|}
\right)+CПри a=0a=0, b≠0b\ne0−1b2x−1∣b∣3arctg⁡x∣b∣+C,x≠0-\dfrac{1}{b^2x}
-\dfrac{1}{|b|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|b|}+C,
\qquad
x\ne0При b=0b=0, a≠0a\ne0−1a2x−1∣a∣3arctg⁡x∣a∣+C,x≠0-\dfrac{1}{a^2x}
-\dfrac{1}{|a|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}+C,
\qquad
x\ne0Во всех случаях a2≠b2a^2\ne b^2; на каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Считаем параметры aa и bb действительными. Разность коэффициентов b2−a2b^2-a^2 ненулевая. При приведении следующей разности дробей к общему знаменателю в числителе как раз возникает b2−a2b^2-a^2. Поэтому имеем разложение1(x2+a2)(x2+b2)=1b2−a2(1x2+a2−1x2+b2)\dfrac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}
=\dfrac{1}{b^2-a^2}
\left(\dfrac{1}{x^2+a^2}-\dfrac{1}{x^2+b^2}\right)Сначала рассмотрим случай ab≠0ab\ne0. Поскольку∫dxx2+c2=1∣c∣arctg⁡x∣c∣+C(c≠0)\int\dfrac{dx}{x^2+c^2}
=\dfrac{1}{|c|}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|c|}+C
\qquad (c\ne0)получаем∫dx(x2+a2)(x2+b2)=1b2−a2(1∣a∣arctg⁡x∣a∣−1∣b∣arctg⁡x∣b∣)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}
&=\dfrac{1}{b^2-a^2}
\left(
\dfrac{1}{|a|}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}
-\dfrac{1}{|b|}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|b|}
\right)+C
\end{aligned}Если a=0a=0, то b≠0b\ne0 и1x2(x2+b2)=1b2(1x2−1x2+b2),∫dxx2(x2+b2)=−1b2x−1∣b∣3arctg⁡x∣b∣+C\begin{aligned}
\dfrac{1}{x^2(x^2+b^2)}
&=\dfrac{1}{b^2}
\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2+b^2}\right),\\
\int\dfrac{dx}{x^2(x^2+b^2)}
&=-\dfrac{1}{b^2x}
-\dfrac{1}{|b|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|b|}+C
\end{aligned}Аналогично, если b=0b=0, то a≠0a\ne0 и∫dxx2(x2+a2)=−1a2x−1∣a∣3arctg⁡x∣a∣+C\int\dfrac{dx}{x^2(x^2+a^2)}
=-\dfrac{1}{a^2x}
-\dfrac{1}{|a|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}+CВ двух последних случаях x≠0x\ne0, а постоянная CC выбирается независимо на промежутках (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty).
Демидович № 1740 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика