Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1739

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+a)^2(x+b)^2}

(a\ne b)

Ответ:

\dfrac{2}{(b-a)^3}\ln\left|\dfrac{x+b}{x+a}\right| -\dfrac{1}{(b-a)^2} \left(\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}\right)+C

Здесь

a\ne b

x\ne-a

x\ne-b

; на каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Пусть

u=x+a, \qquad d=b-a

По условию

d\ne0

, а

x+b=u+d

. Ищем разложение на простейшие дроби в виде

\dfrac{1}{u^2(u+d)^2} =\dfrac{A}{u}+\dfrac{B}{u^2} +\dfrac{C}{u+d}+\dfrac{D}{(u+d)^2}

Умножая это равенство на

u^2(u+d)^2

, получаем тождество

1=Au(u+d)^2+B(u+d)^2+Cu^2(u+d)+Du^2

Подставляя

u=0

u=-d

, находим

B=\dfrac{1}{d^2}, \qquad D=\dfrac{1}{d^2}

Сравнение коэффициентов при

u^3

u

даёт

A+C=0, \qquad Ad^2+2Bd=0

Так как

d\ne0

, отсюда

A=-\dfrac{2}{d^3}, \qquad C=\dfrac{2}{d^3}

Следовательно,

\dfrac{1}{u^2(u+d)^2} =-\dfrac{2}{d^3u}+\dfrac{1}{d^2u^2} +\dfrac{2}{d^3(u+d)}+\dfrac{1}{d^2(u+d)^2}

Интегрируя, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{du}{u^2(u+d)^2} &=-\dfrac{2}{d^3}\ln|u|-\dfrac{1}{d^2u} +\dfrac{2}{d^3}\ln|u+d|-\dfrac{1}{d^2(u+d)}+C=\\ &=\dfrac{2}{d^3}\ln\left|\dfrac{u+d}{u}\right| -\dfrac{1}{d^2}\left(\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u+d}\right)+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, имеем

\int\dfrac{dx}{(x+a)^2(x+b)^2} =\dfrac{2}{(b-a)^3}\ln\left|\dfrac{x+b}{x+a}\right| -\dfrac{1}{(b-a)^2} \left(\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}\right)+C

Формула справедлива при

x\ne-a

x\ne-b

. На каждом связном промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.