Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1738

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^4+3x^2+2}

Ответ:

\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x^2+1}{x^2+2}+C

Решение

Разложим знаменатель на множители:

x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)

Положим

u=x^2, \qquad du=2x\,dx

После замены рациональная дробь распадается по тождеству

\frac{1}{(u+1)(u+2)}=\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u+2}

: при приведении к общему знаменателю числитель равен

(u+2)-(u+1)=1

. Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{x^4+3x^2+2} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{(u+1)(u+2)}=\\ &=\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{u+2}\right)du=\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x^2+1}{x^2+2}+C\end{aligned}

Модуль в логарифме не требуется, поскольку

x^2+1>0

x^2+2>0

при всех действительных

x