Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1737

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1737

∫x dx(x+2)(x+3)\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x+2)(x+3)}.
Ответ:−2ln⁡∣x+2∣+3ln⁡∣x+3∣+C,x≠−3,x≠−2-2\ln|x+2|+3\ln|x+3|+C,
\qquad
x\ne-3,
\quad
x\ne-2На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Область определения подынтегральной функции задаётся условиями x≠−2x\ne-2, x≠−3x\ne-3. Разложим дробь:x(x+2)(x+3)=Ax+2+Bx+3\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}
=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x+3}Из тождестваx=A(x+3)+B(x+2)x=A(x+3)+B(x+2)при x=−2x=-2 имеем −2=A-2=A, а при x=−3x=-3 — −3=−B-3=-B. Значит, A=−2A=-2, B=3B=3. Поэтому∫x dx(x+2)(x+3)=−2∫dxx+2+3∫dxx+3==−2ln⁡∣x+2∣+3ln⁡∣x+3∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{(x+2)(x+3)}
&=-2\int\dfrac{dx}{x+2}
+3\int\dfrac{dx}{x+3}=\\
&=-2\ln|x+2|+3\ln|x+3|+C
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1737 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика