Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1736

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2-2)(x^2+3)}

Ответ:

\dfrac{1}{10\sqrt2} \ln\left|\dfrac{x-\sqrt2}{x+\sqrt2}\right| -\dfrac{1}{5\sqrt3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\sqrt3}+C, \qquad x\ne\pm\sqrt2

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Область определения подынтегральной функции задаётся условиями

x\ne\pm\sqrt2

. Разложим дробь:

\dfrac{1}{(x^2-2)(x^2+3)} =\dfrac{A}{x^2-2}+\dfrac{B}{x^2+3}

После приведения к общему знаменателю имеем

1=A(x^2+3)+B(x^2-2)

Следовательно,

A+B=0, \qquad 3A-2B=1

Отсюда

A=\dfrac{1}{5}

B=-\dfrac{1}{5}

. Используя формулы

\int\dfrac{dx}{x^2-\alpha^2} =\dfrac{1}{2\alpha}\ln\left|\dfrac{x-\alpha}{x+\alpha}\right|+C, \qquad \int\dfrac{dx}{x^2+\alpha^2} =\dfrac{1}{\alpha}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\alpha}+C

Первую формулу можно получить из разложения

\frac{1}{x^2-\alpha^2}=\frac{1}{2\alpha}\bigl(\frac{1}{x-\alpha}-\frac{1}{x+\alpha}\bigr)

; вторую проверяют производной арктангенса. При

\alpha>0

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^2-2)(x^2+3)} &=\dfrac{1}{5}\int\dfrac{dx}{x^2-2} -\dfrac{1}{5}\int\dfrac{dx}{x^2+3}=\\ &=\dfrac{1}{10\sqrt2} \ln\left|\dfrac{x-\sqrt2}{x+\sqrt2}\right| -\dfrac{1}{5\sqrt3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\sqrt3}+C\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.