Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1735

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2)}

Ответ:

\operatorname{arctg}x -\dfrac{1}{\sqrt2}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\sqrt2}+C

Решение

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

\dfrac{1}{(x^2+1)(x^2+2)} =\dfrac{A}{x^2+1}+\dfrac{B}{x^2+2}

После приведения к общему знаменателю получаем

1=A(x^2+2)+B(x^2+1)

Сравнивая коэффициенты при

x^2

и свободные члены, находим

A+B=0, \qquad 2A+B=1

Отсюда

A=1

B=-1

. Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^2+2)} &=\int\dfrac{dx}{x^2+1} -\int\dfrac{dx}{x^2+2}=\\ &=\operatorname{arctg}x -\dfrac{1}{\sqrt2}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\sqrt2}+C\end{aligned}