Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1734

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+x-2}

Ответ:

\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|+C, \qquad x\ne-2, \quad x\ne1

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Разложим знаменатель на множители:

x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Поэтому область определения задаётся условиями

x\ne1

x\ne-2

. Ищем разложение

\dfrac{1}{(x-1)(x+2)} =\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}

Из равенства

1=A(x+2)+B(x-1)

При

x=1

получаем

1=3A

, а при

x=-2

—

1=-3B

. Значит,

A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=-\dfrac{1}{3}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^2+x-2} &=\dfrac{1}{3}\ln|x-1| -\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+C=\\ &=\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|+C\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.