Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1733

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)(x+3)}

Ответ:

\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+3}\right|+C, \qquad x\ne-3, \quad x\ne1

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Область определения подынтегральной функции:

x\ne1

x\ne-3

. Разложим дробь на простейшие:

\dfrac{1}{(x-1)(x+3)} =\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}

Из тождества

1=A(x+3)+B(x-1)

При

x=1

исчезает слагаемое с

B

1=4A

. При

x=-3

исчезает слагаемое с

A

1=-4B

. Отсюда

A=\dfrac{1}{4}, \qquad B=-\dfrac{1}{4}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x-1)(x+3)} &=\dfrac{1}{4}\ln|x-1| -\dfrac{1}{4}\ln|x+3|+C=\\ &=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+3}\right|+C\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.