Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1732

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int x^3\sqrt[3]{1+x^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{3}{56}(1+x^2)^{\frac{4}{3}}(4x^2-3)+C

Решение

Под корнем стоит

1+x^2

, а множитель

x^3\,dx=x^2(x\,dx)

содержит

x\,dx

, то есть половину дифференциала

1+x^2

. Оставшееся

x^2

выразим через новую переменную. Поэтому положим

u=1+x^2, \qquad du=2x\,dx

Тогда

x^2=u-1

x^3\,dx=\dfrac{u-1}{2}\,du

. Поэтому

\begin{aligned} \int x^3\sqrt[3]{1+x^2}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int(u-1)u^{\frac{1}{3}}\,du=\\ &=\dfrac{3}{14}u^{\frac{7}{3}} -\dfrac{3}{8}u^{\frac{4}{3}}+C=\\ &=\dfrac{3}{56}u^{\frac{4}{3}}(4u-7)+C=\\ &=\dfrac{3}{56}(1+x^2)^{\frac{4}{3}}(4x^2-3)+C\end{aligned}