Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1731

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{1-3x}}

Ответ:

-\dfrac{2x+1}{10}\sqrt[3]{(1-3x)^2}+C, \qquad x\ne\dfrac{1}{3}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Область определения подынтегральной функции задаётся условием

x\ne\dfrac{1}{3}

. Кубический корень в знаменателе затрудняет интегрирование, поэтому обозначим его через

t

. При

x\ne\frac{1}{3}

имеем

t\ne0

; так мы не делим на нуль. Положим

t=\sqrt[3]{1-3x}

Тогда

t^3=1-3x, \qquad x=\dfrac{1-t^3}{3}, \qquad dx=-t^2\,dt

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{\sqrt[3]{1-3x}} &=-\dfrac{1}{3}\int(t-t^4)\,dt=\\ &=\dfrac{t^5}{15}-\dfrac{t^2}{6}+C =\dfrac{t^2(2t^3-5)}{30}+C=\\ &=\dfrac{t^2\bigl(2(1-3x)-5\bigr)}{30}+C =-\dfrac{2x+1}{10}t^2+C=\\ &=-\dfrac{2x+1}{10}\sqrt[3]{(1-3x)^2}+C\end{aligned}

На каждом из промежутков

\left(-\infty;\dfrac{1}{3}\right)

\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)

постоянная

C

выбирается независимо.