Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1730

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int x\sqrt{2-5x}\,dx

Ответ:

-\dfrac{4}{75}(2-5x)^{\frac{3}{2}} +\dfrac{2}{125}(2-5x)^{\frac{5}{2}}+C, \qquad x\leqslant\dfrac{2}{5}

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\leqslant\dfrac{2}{5}

. Корень содержит

2-5x

. Выразим через него также множитель

x

, чтобы после замены получить степени одной переменной:

x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{2-5x}{5}

Тогда

x\sqrt{2-5x} =\dfrac{2}{5}(2-5x)^{\frac{1}{2}} -\dfrac{1}{5}(2-5x)^{\frac{3}{2}}

Положим

u=2-5x, \qquad du=-5\,dx, \qquad dx=-\dfrac{1}{5}\,du

После замены переменной получаем

\begin{aligned} \int x\sqrt{2-5x}\,dx &=-\dfrac{2}{25}\int u^{\frac{1}{2}}\,du +\dfrac{1}{25}\int u^{\frac{3}{2}}\,du=\\ &=-\dfrac{4}{75}u^{\frac{3}{2}} +\dfrac{2}{125}u^{\frac{5}{2}}+C=\\ &=-\dfrac{4}{75}(2-5x)^{\frac{3}{2}} +\dfrac{2}{125}(2-5x)^{\frac{5}{2}}+C\end{aligned}