Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1729

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1729

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Ответ:

\dfrac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} -\dfrac{(x-1)^{\frac{3}{2}}}{3}+C, \qquad x\geqslant1

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\geqslant1

. Сумму корней в знаменателе удобно убрать умножением на сопряжённую разность: произведение суммы и разности равно разности подкоренных выражений, то есть

2

. Получаем

\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} &=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} {(x+1)-(x-1)}=\\ &=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right)\end{aligned}

Для полученных интегралов положим

\begin{aligned} u&=x+1, &du&=dx \\ v&=x-1, &dv&=dx\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} &=\dfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du -\dfrac{1}{2}\int v^{\frac{1}{2}}\,dv=\\ &=\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{3} -\dfrac{v^{\frac{3}{2}}}{3}+C=\\ &=\dfrac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} -\dfrac{(x-1)^{\frac{3}{2}}}{3}+C\end{aligned}