Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1728

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^5}{x+1}\,dx

Ответ:

\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} +x-\ln|x+1|+C, \qquad x\ne-1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-1), \qquad (-1,+\infty)

Решение

При

x\ne-1

выполним деление многочленов:

\begin{aligned} x^5 &=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)-1\end{aligned}

Следовательно,

\dfrac{x^5}{x+1} =x^4-x^3+x^2-x+1-\dfrac{1}{x+1}

Отсюда

\int\dfrac{x^5}{x+1}\,dx =\int(x^4-x^3+x^2-x+1)\,dx -\int\dfrac{dx}{x+1}

В последнем интеграле положим

u=x+1, \qquad du=dx

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^5}{x+1}\,dx &=\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} +x-\int\dfrac{du}{u}=\\ &=\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} +x-\ln|u|+C=\\ &=\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} +x-\ln|x+1|+C\end{aligned}