Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1627

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

Задача 1627

С точностью до 10−310^{-3} найти два первых положительных корня уравненияctg⁡x=1x−x2.\ctg x=\frac{1}{x}-\frac{x}{2}.
Ответ:x1≈2,082,x2≈5,940x_1\approx2{,}082,
\qquad
x_2\approx5{,}940

Решение

Для x>0x>0 исходное уравнение определено при x≠nπx\ne n\pi, n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldots. Умножая его на 2xsin⁡x2x\sin x, получаем равносильное уравнениеF(x)=(2−x2)sin⁡x−2xcos⁡x=0F(x)=(2-x^2)\sin x-2x\cos x=0При этомF′(x)=−x2cos⁡x,F′′(x)=−2xcos⁡x+x2sin⁡xF'(x)=-x^2\cos x,
\qquad
F''(x)=-2x\cos x+x^2\sin xНа интервале (0;π2)\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) функция FF убывает от нуля, поэтому корней там нет. На (π2;π)\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right) она строго возрастает, причёмF(π2)=2−π24<0,F(π)=2π>0F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2-\dfrac{\pi^2}{4}<0,
\qquad
F(\pi)=2\pi>0Следовательно, на (π2;π)\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right) находится первый положительный корень. Аналогично на (π;3π2)\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right) функция возрастает и остаётся положительной, а на (3π2;2π)\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right) строго убывает до значения F(2π)=−4πF(2\pi)=-4\pi. Поэтому на (3π2;2π)\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right) находится второй положительный корень.

Точки x=πx=\pi и x=2πx=2\pi не входят в область определения исходного уравнения. Значения F(π)F(\pi) и F(2π)F(2\pi) используются только как значения непрерывного продолжения преобразованной функции для определения знаков внутри соседних открытых интервалов.

В методе Ньютона приравниваем нулю уравнение касательной F(xn)+F′(xn)(xn+1−xn)=0F(x_n)+F'(x_n)(x_{n+1}-x_n)=0. Для преобразованного уравнения получаемxn+1=xn+(2−xn2)sin⁡xn−2xncos⁡xnxn2cos⁡xnx_{n+1}
=x_n+
\dfrac{(2-x_n^2)\sin x_n-2x_n\cos x_n}
{x_n^2\cos x_n}На интервале первого корня F′′(x)>0F''(x)>0, а на интервале второго корня F′′(x)<0F''(x)<0. Выберем x0(1)=2,1x_0^{(1)}=2{,}1 и x0(2)=5,95x_0^{(2)}=5{,}95. Поскольку F(2,1)>0F(2{,}1)>0 и F(5,95)<0F(5{,}95)<0, в обоих случаях начальная точка выбрана со стороны, соответствующей выпуклости графика. Для первого корня сделаем один шаг:x1(1)=2,1−F(2,1)F′(2,1)≈2,082025x_1^{(1)}=2{,}1-\dfrac{F(2{,}1)}{F'(2{,}1)}
\approx2{,}082025Повторяя этот шаг с новыми значениями, получаем2,1⟶2,082025⟶2,081576,5,95⟶5,940402⟶5,940370\begin{aligned}
2{,}1&\longrightarrow2{,}082025
\longrightarrow2{,}081576,\\
5{,}95&\longrightarrow5{,}940402
\longrightarrow5{,}940370
\end{aligned}Проверим знаки функции на концах интервалов требуемой ширины:F(2,081)<0,F(2,083)>0F(5,939)>0,F(5,941)<0\begin{aligned}
&F(2{,}081)<0,
\qquad
F(2{,}083)>0\\
&F(5{,}939)>0,
\qquad
F(5{,}941)<0
\end{aligned}На каждом интервале корень единственный, а его расстояние от соответствующего указанного приближения меньше 10−310^{-3}. Поэтому первые два положительных корня равны 2,0822{,}082 и 5,9405{,}940 с требуемой точностью.
Демидович № 1627 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика