Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1626

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

Задача 1626

С точностью до 0,0010{,}001 найти три первых положительных корня уравненияtg⁡x=x.\tg x=x.
Ответ:x1≈4,493,x2≈7,725,x3≈10,904x_1\approx4{,}493,
\qquad
x_2\approx7{,}725,
\qquad
x_3\approx10{,}904

Решение

Рассмотрим функциюF(x)=tg⁡x−xF(x)=\tg x-xНа каждом интервале(nπ;nπ+π2),n=1,2,3,…\left(n\pi;n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right),
\qquad n=1,2,3,\ldotsфункция возрастает от −nπ-n\pi до +∞+\infty, посколькуF′(x)=1cos⁡2x−1=tg⁡2x>0F'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tg^2x>0На интервале (0;π2)\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) имеем tg⁡x>x\tg x>x, а на интервалах, где tg⁡x<0\tg x<0, положительных корней быть не может. Поэтому первые три положительных корня расположены соответственно в интервалах(π;3π2),(2π;5π2),(3π;7π2)\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right),
\qquad
\left(2\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right),
\qquad
\left(3\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right)Пересечение касательной к графику FF в точке xnx_n с осью OxOx даёт формулу Ньютонаxn+1=xn−tg⁡xn−xntg⁡2xnx_{n+1}
=x_n-\dfrac{\tg x_n-x_n}{\tg^2x_n}На рассматриваемых ветвяхF′′(x)=2tg⁡xcos⁡2x>0F''(x)=\dfrac{2\tg x}{\cos^2x}>0Выберем начальные приближения x0(1)=4,5x_0^{(1)}=4{,}5, x0(2)=7,73x_0^{(2)}=7{,}73 и x0(3)=10,91x_0^{(3)}=10{,}91. Во всех трёх случаях F(x0(j))>0F(x_0^{(j)})>0 и F′′(x0(j))>0F''(x_0^{(j)})>0: точки находятся справа от соответствующих корней на выпуклых вверх участках. Для первого корня первый шаг имеет видx1(1)=4,5−tg⁡(4,5)−4,5tg⁡2(4,5)≈4,493614x_1^{(1)}=4{,}5-
\dfrac{\tg(4{,}5)-4{,}5}{\tg^2(4{,}5)}
\approx4{,}493614Продолжая расчёт по той же формуле для каждого корня, получаем4,5⟶4,493614⟶4,493410⟶4,493409,7,73⟶7,725429⟶7,725252,10,91⟶10,904501⟶10,904123⟶10,904122\begin{aligned}
4{,}5&\longrightarrow4{,}493614
\longrightarrow4{,}493410
\longrightarrow4{,}493409,\\
7{,}73&\longrightarrow7{,}725429
\longrightarrow7{,}725252,\\
10{,}91&\longrightarrow10{,}904501
\longrightarrow10{,}904123
\longrightarrow10{,}904122
\end{aligned}Проверим погрешность:F(4,492)<0,F(4,494)>0F(7,724)<0,F(7,726)>0F(10,903)<0,F(10,905)>0\begin{aligned}
&F(4{,}492)<0,
\qquad
F(4{,}494)>0\\
&F(7{,}724)<0,
\qquad
F(7{,}726)>0\\
&F(10{,}903)<0,
\qquad
F(10{,}905)>0
\end{aligned}На каждом интервале корень единственный, а радиус интервала относительно записанного приближения равен 0,0010{,}001. Следовательно, первые три положительных корня равны 4,4934{,}493, 7,7257{,}725 и 10,90410{,}904 с требуемой точностью.
Демидович № 1626 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика