Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1625

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

Задача 1625

xtanh⁡x=1x\tanh x=1 (с точностью до 10−610^{-6}).
Ответ:x1≈−1,199679,x2≈1,199679x_1\approx-1{,}199679,
\qquad
x_2\approx1{,}199679

Решение

Умножим исходное уравнение на ch⁡x\operatorname{ch}x, который не обращается в нуль при действительных xx. Получим равносильное уравнениеG(x)=x sh⁡x−ch⁡x=0G(x)=x\,\operatorname{sh}x-\operatorname{ch}x=0Функция GG чётная. При x>0x>0G′(x)=x ch⁡x>0G'(x)=x\,\operatorname{ch}x>0Так как G(1)<0G(1)<0 и G(1,3)>0G(1{,}3)>0, на положительной полуоси существует единственный корень. В силу чётности функции второй корень противоположен ему по знаку.

Кроме того,G′′(x)=ch⁡x+x sh⁡x>0(x>0)G''(x)=\operatorname{ch}x+x\,\operatorname{sh}x>0
\qquad (x>0)Поэтому при x0=1,3x_0=1{,}3 значения G(x0)G(x_0) и G′′(x0)G''(x_0) положительны: мы начинаем справа от корня на выпуклом вверх участке графика.

Пересечение касательной в xnx_n с осью OxOx даёт для положительного корня формулу Ньютонаxn+1=xn−xnsh⁡xn−ch⁡xnxnch⁡xnx_{n+1}
=x_n-
\dfrac{x_n\operatorname{sh}x_n-\operatorname{ch}x_n}
{x_n\operatorname{ch}x_n}Первый шаг при x0=1,3x_0=1{,}3:x1=1,3−G(1,3)G′(1,3)≈1,2075076x_1=1{,}3-\dfrac{G(1{,}3)}{G'(1{,}3)}
\approx1{,}2075076Продолжая вычисления с новым приближением, получаем1,3⟶1,2075076⟶1,1997294⟶1,19967861{,}3\longrightarrow1{,}2075076
\longrightarrow1{,}1997294
\longrightarrow1{,}1996786Проверка знаков даётG(1,199678)<0,G(1,199680)>0G(1{,}199678)<0,
\qquad
G(1{,}199680)>0Положительный корень отличается от числа 1,1996791{,}199679 менее чем на 10−610^{-6}. По чётности GG отрицательный корень отличается от −1,199679-1{,}199679 менее чем на 10−610^{-6}.
Демидович № 1625 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика