Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1624

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

x+e^x=0

(с точностью до

10^{-5}

Ответ:

x\approx-0{,}56714

Решение

Рассмотрим функцию

F(x)=x+e^x

Поскольку

F'(x)=1+e^x>0

функция строго возрастает. Кроме того,

F(-1)<0

F(0)>0

, поэтому уравнение имеет единственный действительный корень на интервале

(-1;0)

.

Так как

F(-0{,}5)>0, \qquad F''(x)=e^x>0

значение

x_0=-0{,}5

лежит справа от корня на выпуклом вверх участке графика: касательная пересечёт ось левее этой точки.

Из уравнения касательной

0=F(x_n)+F'(x_n)(x_{n+1}-x_n)

следует формула Ньютона:

x_{n+1} =x_n-\dfrac{x_n+e^{x_n}}{1+e^{x_n}}

Первый шаг при

x_0=-0{,}5

даёт

x_1=-0{,}5-\dfrac{-0{,}5+e^{-0{,}5}}{1+e^{-0{,}5}} \approx-0{,}5663110

Повторяя вычисление с новым приближением, получаем

-0{,}5\longrightarrow-0{,}5663110 \longrightarrow-0{,}5671432 \longrightarrow-0{,}5671433

Проверим знаки функции на концах более узкого интервала:

F(-0{,}56715)<0, \qquad F(-0{,}56713)>0

Единственный корень находится от числа

-0{,}56714

на расстоянии менее

10^{-5}

. Следовательно,

x\approx-0{,}56714

с требуемой точностью.