Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1623

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

Задача 1623

cos⁡x⋅ch⁡x=1\cos x\cdot\ch x=1 (с точностью до 10−310^{-3}) (два первых положительных корня).
Ответ:x1≈4,730,x2≈7,853x_1\approx4{,}730,
\qquad
x_2\approx7{,}853

Решение

ПоложимF(x)=cos⁡x ch⁡x−1F(x)=\cos x\,\operatorname{ch}x-1Производную удобно записать в двух равносильных формах:F′(x)=−sin⁡x ch⁡x+cos⁡x sh⁡x==cos⁡x ch⁡x(th⁡x−tg⁡x)\begin{aligned}
F'(x)
&=-\sin x\,\operatorname{ch}x
+\cos x\,\operatorname{sh}x=\\
&=\cos x\,\operatorname{ch}x
\bigl(\operatorname{th}x-\tg x\bigr)
\end{aligned}На (0;π2)\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) рассмотрим функциюh(x)=tg⁡x−th⁡xh(x)=\tg x-\operatorname{th}xИмеемh(0)=0,h′(x)=1cos⁡2x−1ch⁡2x>0h(0)=0,
\qquad
h'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\operatorname{ch}^2x}>0Следовательно, tg⁡x>th⁡x\tg x>\operatorname{th}x, откуда F′(x)<0F'(x)<0 и F(x)<F(0)=0F(x)<F(0)=0. При π2⩽x⩽3π2\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{3\pi}{2} косинус неположителен, поэтому F(x)<0F(x)<0. Значит, положительных корней до точки 3π2\dfrac{3\pi}{2} нет.

ДалееF(4,7)<0,F(4,8)>0F(7,8)>0,F(7,9)<0\begin{aligned}
&F(4{,}7)<0,
\qquad
F(4{,}8)>0\\
&F(7{,}8)>0,
\qquad
F(7{,}9)<0
\end{aligned}На (3π2;2π)\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right) оба слагаемых в первой формуле для F′(x)F'(x) положительны, поэтому первый корень единственный. На (2π;5π2)\left(2\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right) выражение q(x)=th⁡x−tg⁡xq(x)=\operatorname{th}x-\tg x строго убывает, посколькуq′(x)=1ch⁡2x−1cos⁡2x<0q'(x)=\dfrac{1}{\operatorname{ch}^2x}
-\dfrac{1}{\cos^2x}<0При этом q(2π)>0q(2\pi)>0, а при x→(5π2)−x\to\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)^- имеем q(x)→−∞q(x)\to-\infty. Поэтому F′F' один раз меняет знак с плюса на минус. Так как F(2π)>0F(2\pi)>0 и F(5π2)=−1F\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=-1, после своего единственного максимума функция пересекает ось ровно один раз. Следовательно, найденные корни являются первыми двумя положительными корнями.

Метод Ньютона строит касательную к графику FF при x=xnx=x_n и принимает её пересечение с осью OxOx за xn+1x_{n+1}. В нашем случаеxn+1=xn−cos⁡xn ch⁡xn−1−sin⁡xn ch⁡xn+cos⁡xn sh⁡xnx_{n+1}
=x_n-
\dfrac{\cos x_n\,\operatorname{ch}x_n-1}
{-\sin x_n\,\operatorname{ch}x_n
+\cos x_n\,\operatorname{sh}x_n}Вторая производная равнаF′′(x)=−2sin⁡x sh⁡xF''(x)=-2\sin x\,\operatorname{sh}xВыберем x0(1)=4,8x_0^{(1)}=4{,}8 и x0(2)=7,9x_0^{(2)}=7{,}9. Для первого корня F(4,8)>0F(4{,}8)>0 и F′′(4,8)>0F''(4{,}8)>0, а для второго F(7,9)<0F(7{,}9)<0 и F′′(7,9)<0F''(7{,}9)<0. Таким образом, в каждом случае начальная точка взята со стороны корня, соответствующей выпуклости графика. Для первого корня начнём вычисления:x1(1)=4,8−F(4,8)F′(4,8)≈4,734443x_1^{(1)}=4{,}8-\dfrac{F(4{,}8)}{F'(4{,}8)}
\approx4{,}734443Повторяя шаг с новыми приближениями для обоих корней, получаем4,8⟶4,734443⟶4,730060⟶4,730041,7,9⟶7,855267⟶7,853209⟶7,853205\begin{aligned}
4{,}8&\longrightarrow4{,}734443
\longrightarrow4{,}730060
\longrightarrow4{,}730041,\\
7{,}9&\longrightarrow7{,}855267
\longrightarrow7{,}853209
\longrightarrow7{,}853205
\end{aligned}Для проверки погрешности имеемF(4,729)<0,F(4,731)>0F(7,852)>0,F(7,854)<0\begin{aligned}
&F(4{,}729)<0,
\qquad
F(4{,}731)>0\\
&F(7{,}852)>0,
\qquad
F(7{,}854)<0
\end{aligned}На каждом из этих интервалов корень единственный, а радиус интервала относительно записанного приближения равен 10−310^{-3}. Поэтому x1≈4,730x_1\approx4{,}730 и x2≈7,853x_2\approx7{,}853 с требуемой точностью.
Демидович № 1623 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика