Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1622

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

Задача 1622

xlg⁡x=1x\lg x=1 (с точностью до 10−410^{-4}).
Ответ:x≈2,5062x\approx2{,}5062

Решение

Область определения уравнения: x>0x>0. При 0<x⩽10<x\leqslant1 имеем xlg⁡x⩽0x\lg x\leqslant0, поэтому корней на этом промежутке нет. РассмотримF(x)=xlg⁡x−1F(x)=x\lg x-1При x>1x>1F′(x)=lg⁡x+1ln⁡10>0,F′′(x)=1xln⁡10>0F'(x)=\lg x+\dfrac{1}{\ln10}>0,
\qquad
F''(x)=\dfrac{1}{x\ln10}>0Следовательно, функция строго возрастает. Так как F(2)<0F(2)<0 и F(3)>0F(3)>0, уравнение имеет единственный корень на интервале (2;3)(2;3).

При методе Ньютона следующее приближение есть точка пересечения касательной в xnx_n с осью OxOx. Для нашей функции это даётxn+1=xn−xnlg⁡xn−1lg⁡xn+1ln⁡10x_{n+1}
=x_n-
\dfrac{x_n\lg x_n-1}
{\lg x_n+\dfrac{1}{\ln10}}Выберем x0=3x_0=3. Здесь график выпуклый вверх, а F(3)>0F(3)>0: касательная из этой точки направляет приближения к корню слева от неё. Например, F(3)≈0,431364F(3)\approx0{,}431364 и F′(3)≈0,911416F'(3)\approx0{,}911416, поэтомуx1=3−F(3)F′(3)≈2,526710x_1=3-\dfrac{F(3)}{F'(3)}\approx2{,}526710Подставляя затем каждое новое приближение в ту же формулу, получаем3⟶2,526710⟶2,506228⟶2,5061843\longrightarrow2{,}526710
\longrightarrow2{,}506228
\longrightarrow2{,}506184Проверим погрешность:F(2,5061)<0,F(2,5063)>0F(2{,}5061)<0,
\qquad
F(2{,}5063)>0На этом интервале корень единственный, а его расстояние от числа 2,50622{,}5062 меньше 10−410^{-4}. Следовательно, x≈2,5062x\approx2{,}5062 с требуемой точностью.
Демидович № 1622 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика