Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1621

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:

\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=10x

(с точностью до

10^{-3}

Ответ:

x_1\approx0{,}472, \qquad x_2\approx9{,}999

Решение

Область определения уравнения задаётся условием

x\ne0

. При

x<0

x^2-10x+\dfrac{1}{x^2}>0

поэтому отрицательных корней нет. Следовательно, остаётся рассмотреть

x>0

, и на этой области умножение на

x^2

допустимо. Получаем

F(x)=x^4-10x^3+1=0

Имеем

\begin{aligned} &F(0{,}4)>0, \qquad F(0{,}5)<0\\ &F(9)<0, \qquad F(10)>0\end{aligned}

Кроме того,

F'(x)=4x^3-30x^2=2x^2(2x-15)

Функция

F

строго убывает при

0<x<7{,}5

и строго возрастает при

x>7{,}5

. Следовательно, на каждом из интервалов

(0{,}4;0{,}5)

(9;10)

находится ровно один корень, а других положительных корней нет.

Метод Ньютона заменяет график

F

касательной в текущей точке

x_n

и берёт её пересечение с осью

Ox

за следующее приближение. Из уравнения касательной

0=F(x_n)+F'(x_n)(x_{n+1}-x_n)

получаем

x_{n+1} =x_n- \dfrac{x_n^4-10x_n^3+1}{4x_n^3-30x_n^2}

Вторая производная равна

F''(x)=12x(x-5)

Выберем

x_0^{(1)}=0{,}5

x_0^{(2)}=10

. При этом

F(0{,}5)<0

F''(0{,}5)<0

, а

F(10)>0

F''(10)>0

: начальные точки взяты с подходящей стороны каждого корня. Для первого корня покажем вычисление:

F(0{,}5)=-0{,}1875, \qquad F'(0{,}5)=-7

Поэтому

x_1^{(1)}=0{,}5-\frac{-0{,}1875}{-7}\approx0{,}473214

. Подставляя каждый раз новое приближение в ту же формулу, получаем

\begin{aligned} 0{,}5&\longrightarrow0{,}473214 \longrightarrow0{,}471700 \longrightarrow0{,}471695,\\ 10&\longrightarrow9{,}999000 \longrightarrow9{,}9989997\end{aligned}

Для проверки погрешности непосредственно вычисляем знаки:

\begin{aligned} &F(0{,}471)>0, \qquad F(0{,}473)<0\\ &F(9{,}998)<0, \qquad F(10)>0\end{aligned}

Каждый из этих интервалов содержит единственный корень и имеет радиус

10^{-3}

относительно указанного приближения. Поэтому

x_1\approx0{,}472

x_2\approx9{,}999

с абсолютной погрешностью менее

10^{-3}