Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1620

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до

0{,}001

корни следующих уравнений:

Задача 1620

\cos x=x^2

Ответ:

x_1\approx-0{,}824, \qquad x_2\approx0{,}824

Решение

Положим

f(x)=\cos x-x^2

Функция

f

чётная. При

x>1

имеем

f(x)\leqslant1-x^2<0

На отрезке

(0;1]

f'(x)=-\sin x-2x<0

то есть функция строго убывает. Так как

f(0)=1>0

, а

f(1)=\cos1-1<0

, существует ровно один положительный корень; в силу чётности существует также ровно один отрицательный корень. Положительный корень отделяется промежутком

f(0{,}82)>0, \qquad f(0{,}83)<0

Применяя метод хорд по формуле

c_k=\dfrac{a_kf(b_k)-b_kf(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}

к положительному корню, после каждого шага оставляем отрезок, на концах которого

f

меняет знак. Сначала

c_1\approx0{,}824119

f(c_1)>0

, так что новый отрезок равен

[c_1;0{,}83]

. Продолжая вычисления, получаем

c_1\approx0{,}824119, \qquad c_2\approx0{,}824132

Контроль знаков показывает, что

f(0{,}8241)>0, \qquad f(0{,}8242)<0

Следовательно,

x_2\in\bigl(0{,}8241;0{,}8242\bigr) \subset\bigl(0{,}8235;0{,}8245\bigr)

По чётности функции

x_1=-x_2\in\bigl(-0{,}8242;-0{,}8241\bigr) \subset\bigl(-0{,}8245;-0{,}8235\bigr)

Оба найденных интервала целиком лежат внутри соответствующих интервалов округления, поэтому корни с точностью до тысячных равны

-0{,}824

0{,}824