Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1619

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до

0{,}001

корни следующих уравнений:

x-0{,}1\sin x=2

Ответ:

x\approx2{,}087

Решение

Перепишем уравнение в виде

f(x)=0

, где

f(x)=x-0{,}1\sin x-2

Поскольку

f'(x)=1-0{,}1\cos x\geqslant0{,}9>0

функция строго возрастает на всей числовой прямой. Кроме того,

f(x)\to-\infty

при

x\to-\infty

f(x)\to+\infty

при

x\to+\infty

, поэтому корень единственен. Проверка знаков даёт

f(2{,}08)<0, \qquad f(2{,}09)>0

По формуле метода хорд

c_k=\dfrac{a_kf(b_k)-b_kf(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}

находим пересечение хорды через концы

[2{,}08;2{,}09]

с осью

Ox

. Первый результат

c_1\approx2{,}086970

даёт

f(c_1)<0

, поэтому следующий отрезок равен

[c_1;2{,}09]

. Продолжая сохранять концы с разными знаками, получаем

c_1\approx2{,}086970, \qquad c_2\approx2{,}086971

Для проверки требуемой точности вычислим знаки на более узком отрезке:

f(2{,}0869)<0, \qquad f(2{,}0870)>0

Следовательно,

x\in\bigl(2{,}0869;2{,}0870\bigr) \subset\bigl(2{,}0865;2{,}0875\bigr)

Весь найденный интервал лежит внутри интервала чисел, округляющихся до

2{,}087

, поэтому требуемое приближение равно

2{,}087