Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1618

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до

0{,}001

корни следующих уравнений:

x^4-x-1=0

Ответ:

x_1\approx-0{,}724, \qquad x_2\approx1{,}221

Решение

Положим

f(x)=x^4-x-1

Производная

f'(x)=4x^3-1

обращается в нуль только при

x=4^{-\frac13}

. До этой точки функция убывает, а после неё возрастает. Кроме того,

f(0)=-1

f(x)\to+\infty

при

x\to\pm\infty

. Следовательно, уравнение имеет ровно два действительных корня. Они отделяются промежутками

f(-0{,}8)>0, \qquad f(-0{,}7)<0, \qquad f(1{,}2)<0, \qquad f(1{,}3)>0

Используем метод хорд по формуле

c_k=\dfrac{a_kf(b_k)-b_kf(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}

Она даёт абсциссу пересечения с осью

Ox

прямой через концы отрезка. На следующем шаге оставляем тот из двух отрезков

[a_k,c_k]

[c_k,b_k]

, на концах которого значения

f

разных знаков. Например, для отрицательного корня

c_1\approx-0{,}722226

f(c_1)<0

, тогда как

f(-0{,}8)>0

: следующий отрезок

[-0{,}8;c_1]

. Дальнейшие шаги дают

c_1\approx-0{,}722226, \qquad c_2\approx-0{,}724284, \qquad c_3\approx-0{,}724473

Для положительного корня:

c_1\approx1{,}218520, \qquad c_2\approx1{,}220509, \qquad c_3\approx1{,}220719

Контроль знаков даёт

\begin{aligned} f(-0{,}7245)&>0, &\qquad f(-0{,}7244)&<0\\ f(1{,}2207)&<0, & f(1{,}2208)&>0\end{aligned}

Следовательно,

x_1\in\bigl(-0{,}7245;-0{,}7244\bigr) \subset\bigl(-0{,}7245;-0{,}7235\bigr)

x_2\in\bigl(1{,}2207;1{,}2208\bigr) \subset\bigl(1{,}2205;1{,}2215\bigr)

Оба корня лежат внутри соответствующих интервалов округления, поэтому с точностью до тысячных получаем

x_1\approx-0{,}724

x_2\approx1{,}221