Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 15. Приближённое решение уравнений

Демидович — задача 1617

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до 0,0010{,}001 корни следующих уравнений:

Задача 1617

x3−6x+2=0x^3-6x+2=0.
Ответ:x1≈−2,602,x2≈0,340,x3≈2,262x_1\approx-2{,}602,
\qquad
x_2\approx0{,}340,
\qquad
x_3\approx2{,}262

Решение

Положимf(x)=x3−6x+2f(x)=x^3-6x+2Так какf′(x)=3(x2−2)f'(x)=3(x^2-2)функция возрастает на (−∞,−2)(-\infty,-\sqrt2), убывает на (−2,2)(-\sqrt2,\sqrt2) и снова возрастает на (2,+∞)(\sqrt2,+\infty). При этомf(−2)=2+42>0,f(2)=2−42<0f(-\sqrt2)=2+4\sqrt2>0,
\qquad
f(\sqrt2)=2-4\sqrt2<0С учётом поведения функции при x→±∞x\to\pm\infty уравнение имеет ровно три действительных корня. Они отделяются промежуткамиf(−2,7)<0,f(−2,6)>0f(0,3)>0,f(0,4)<0f(2,2)<0,f(2,3)>0\begin{aligned}
&f(-2{,}7)<0, && f(-2{,}6)>0\\
&f(0{,}3)>0, && f(0{,}4)<0\\
&f(2{,}2)<0, && f(2{,}3)>0
\end{aligned}Применим метод хорд. Для отрезка [ak,bk][a_k,b_k], на концах которого функция имеет разные знаки, точка пересечения хорды с осью OxOx равнаck=akf(bk)−bkf(ak)f(bk)−f(ak)c_k=\dfrac{a_kf(b_k)-b_kf(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}Эта формула получается из уравнения прямой через точки (ak,f(ak))(a_k,f(a_k)) и (bk,f(bk))(b_k,f(b_k)) при её пересечении с осью OxOx. После вычисления ckc_k сохраняем пару концов с разными знаками функции: заменяем тот конец, в котором знак совпадает со знаком f(ck)f(c_k). Например, для первого корня из начального отрезка [−2,7;−2,6][-2{,}7;-2{,}6] имеем f(−2,7)=−1,483f(-2{,}7)=-1{,}483 и f(−2,6)=0,024f(-2{,}6)=0{,}024, откуда c1≈−2,601593c_1\approx-2{,}601593. Так как f(c1)>0f(c_1)>0, на следующем шаге берём отрезок [−2,7;c1][-2{,}7;c_1]. Продолжая так же, получаемc1≈−2,601593,c2≈−2,601675,c3≈−2,601679c_1\approx-2{,}601593,
\qquad
c_2\approx-2{,}601675,
\qquad
c_3\approx-2{,}601679Для второго корня:c1≈0,340320,c2≈0,339880,c3≈0,339877c_1\approx0{,}340320,
\qquad
c_2\approx0{,}339880,
\qquad
c_3\approx0{,}339877Для третьего корня:c1≈2,260065,c2≈2,261755,c3≈2,261801c_1\approx2{,}260065,
\qquad
c_2\approx2{,}261755,
\qquad
c_3\approx2{,}261801Контроль знаков на более узких отрезках даётf(−2,6017)<0,f(−2,6016)>0f(0,3398)>0,f(0,3399)<0f(2,2618)<0,f(2,2619)>0\begin{aligned}
f(-2{,}6017)&<0, &\qquad f(-2{,}6016)&>0\\
f(0{,}3398)&>0, & f(0{,}3399)&<0\\
f(2{,}2618)&<0, & f(2{,}2619)&>0
\end{aligned}Кроме того,(−2,6017;−2,6016)⊂(−2,6025;−2,6015)(0,3398;0,3399)⊂(0,3395;0,3405)(2,2618;2,2619)⊂(2,2615;2,2625)\begin{aligned}
\bigl(-2{,}6017;-2{,}6016\bigr)&\subset\bigl(-2{,}6025;-2{,}6015\bigr)\\
\bigl(0{,}3398;0{,}3399\bigr)&\subset\bigl(0{,}3395;0{,}3405\bigr)\\
\bigl(2{,}2618;2{,}2619\bigr)&\subset\bigl(2{,}2615;2{,}2625\bigr)
\end{aligned}Следовательно, каждый корень лежит в соответствующем интервале округления. Поэтому с точностью до тысячных получаем −2,602-2{,}602, 0,3400{,}340 и 2,2622{,}262.
Демидович № 1617 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика