Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1498

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1498

Построить график функцииy=(7+2cos⁡x)sin⁡xy=(7+2\cos x)\sin x
ПостроениеФункция нечётная и имеет период 2π2\pi. Её нули:
x=kπx=k\pi. Абсолютные экстремумы на каждом периоде равныymax⁡=15158,ymin⁡=−15158y_{\max}=\frac{15\sqrt{15}}8,
\qquad
y_{\min}=-\frac{15\sqrt{15}}8и достигаются соответственно при
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi и x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi, где
α=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14.

Построение

Функция определена на всей числовой прямой, нечётна и имеет период
2π2\pi. Поскольку5⩽7+2cos⁡x⩽95\leqslant7+2\cos x\leqslant9первый множитель всегда положителен. Поэтому нули функции и её знак
совпадают с нулями и знаком sin⁡x\sin x:x=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Z
Раскрыв произведение, получаемy=7sin⁡x+sin⁡2xy=7\sin x+\sin2xЧисло 2π2\pi — период по формулам синуса. Любой период T>0T>0 переводит нуль x=0x=0 в нуль, поэтому T=kπT=k\pi. Но π\pi не является периодом: y(π/2)=7y(\pi/2)=7, y(3π/2)=−7y(3\pi/2)=-7. Следовательно, наименьший положительный период равен 2π2\pi.
Первая производная равнаy′=7cos⁡x+2cos⁡2x==4cos⁡2x+7cos⁡x−2\begin{aligned}
y'&=7\cos x+2\cos2x=\\
&=4\cos^2x+7\cos x-2
\end{aligned}Уравнение y′=0y'=0 сводится к4t2+7t−2=0,t=cos⁡x4t^2+7t-2=0,
\qquad
t=\cos xЕго корни равны t=14t=\frac14 и t=−2t=-2, причём второй корень
недопустим. Обозначимα=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14Тогда на промежутке [−π,π][-\pi,\pi] критические точки имеют абсциссыx=−α,x=αx=-\alpha,
\qquad
x=\alphaТак какy′=(4cos⁡x−1)(cos⁡x+2)y'=(4\cos x-1)(\cos x+2)функция возрастает при cos⁡x>14\cos x>\frac14 и убывает при
cos⁡x<14\cos x<\frac14. Следовательно,y(α)=15158y(\alpha)=\frac{15\sqrt{15}}8--- абсолютный максимум, а по нечётностиy(−α)=−15158y(-\alpha)=-\frac{15\sqrt{15}}8--- абсолютный минимум. ПоэтомуE=[−15158,15158]E=\left[-\frac{15\sqrt{15}}8,\frac{15\sqrt{15}}8\right]

Построение графика

Строим один период по найденным нулям и экстремумам, учитывая интервалы возрастания и убывания. Затем повторяем его с указанным периодом.график к задаче Демидовича № 1498

Ответ

Функция нечётная и имеет период 2π2\pi. Её нули:
x=kπx=k\pi. Абсолютные экстремумы на каждом периоде равныymax⁡=15158,ymin⁡=−15158y_{\max}=\frac{15\sqrt{15}}8,
\qquad
y_{\min}=-\frac{15\sqrt{15}}8и достигаются соответственно при
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi и x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi, где
α=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14.

Проверка

В точке максимума cos⁡α=1/4\cos\alpha=1/4, sin⁡α=1−1/16=15/4\sin\alpha=\sqrt{1-1/16}=\sqrt{15}/4, откуда y(α)=(7+1/2)15/4=1515/8y(\alpha)=(7+1/2)\sqrt{15}/4=15\sqrt{15}/8.

Вторая производная y′′=−7sin⁡x−4sin⁡2x=−sin⁡x(7+8cos⁡x)y''=-7\sin x-4\sin2x=-\sin x(7+8\cos x). Она меняет знак при x=kπx=k\pi и при cos⁡x=−7/8\cos x=-7/8. В первой группе ординаты нулевые, во второй sin⁡x=±15/8\sin x=\pm\sqrt{15}/8, поэтому y=(7−7/4)(±15/8)=±2115/32y=(7-7/4)(\pm\sqrt{15}/8)=\pm21\sqrt{15}/32. Все эти точки — перегибы.
Демидович № 1498 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика