Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1498

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1498

Построить график функцииy=(7+2cos⁡x)sin⁡xy=(7+2\cos x)\sin x
ПостроениеФункция нечётная и имеет период 2π2\pi. Её нули:
x=kπx=k\pi. Абсолютные экстремумы на каждом периоде равныymax⁡=15158,ymin⁡=−15158y_{\max}=\frac{15\sqrt{15}}8,
\qquad
y_{\min}=-\frac{15\sqrt{15}}8и достигаются соответственно при
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi и x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi, где
α=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14.

Построение

Идея

Функция определена на всей числовой прямой, нечётна и имеет период
2π2\pi. Поскольку5⩽7+2cos⁡x⩽95\leqslant7+2\cos x\leqslant9первый множитель всегда положителен. Поэтому нули функции и её знак
совпадают с нулями и знаком sin⁡x\sin x:x=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Z
  1. 1
    Раскрыв произведение, получаемy=7sin⁡x+sin⁡2xy=7\sin x+\sin2xВ выражении присутствуют ненулевые гармоники с частотами 11 и 22,
    поэтому наименьший положительный период функции равен 2π2\pi.
    Первая производная равнаy′=7cos⁡x+2cos⁡2x==4cos⁡2x+7cos⁡x−2\begin{aligned}
    y'&=7\cos x+2\cos2x=\\
    &=4\cos^2x+7\cos x-2
    \end{aligned}    Уравнение y′=0y'=0 сводится к4t2+7t−2=0,t=cos⁡x4t^2+7t-2=0,
    \qquad
    t=\cos x    Его корни равны t=14t=\frac14 и t=−2t=-2, причём второй корень
    недопустим. Обозначимα=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14Тогда на промежутке [−π,π][-\pi,\pi] критические точки имеют абсциссыx=−α,x=αx=-\alpha,
    \qquad
    x=\alpha    Так какy′=(4cos⁡x−1)(cos⁡x+2)y'=(4\cos x-1)(\cos x+2)функция возрастает при cos⁡x>14\cos x>\frac14 и убывает при
    cos⁡x<14\cos x<\frac14. Следовательно,y(α)=15158y(\alpha)=\frac{15\sqrt{15}}8— абсолютный максимум, а по нечётностиy(−α)=−15158y(-\alpha)=-\frac{15\sqrt{15}}8— абсолютный минимум. ПоэтомуE=[−15158,15158]E=\left[-\frac{15\sqrt{15}}8,\frac{15\sqrt{15}}8\right]
  2. 2

    Построение графика

    На симметричном окне [−π,π][-\pi,\pi] виден полный
    период. Отмечены три нуля и обе точки абсолютного экстремума. Кривая
    продолжена немного за крайние деления.график к задаче Демидовича № 1498

Проверка

Ответ. Функция нечётная и имеет период 2π2\pi. Её нули:
x=kπx=k\pi. Абсолютные экстремумы на каждом периоде равныymax⁡=15158,ymin⁡=−15158y_{\max}=\frac{15\sqrt{15}}8,
\qquad
y_{\min}=-\frac{15\sqrt{15}}8и достигаются соответственно при
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi и x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi, где
α=arccos⁡14\alpha=\arccos\frac14.
Демидович № 1498 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика