Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1496*

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1496*

Построить график функцииy=x4+3x2+1y=\sqrt{\frac{x^4+3}{x^2+1}}
ПостроениеФункция чётная; минимумы равны 2\sqrt2 при
x=±1x=\pm1, локальный максимум равен 3\sqrt3 при x=0x=0.
Асимптоты: y=−xy=-x слева и y=xy=x справа. Точки перегиба имеют
абсциссы ±u1\pm\sqrt{u_1} и ±u2\pm\sqrt{u_2}, где H(ui)=0H(u_i)=0, 0,2199<u1<0,22000{,}2199<u_1<0{,}2200, 20,9406<u2<20,940720{,}9406<u_2<20{,}9407.

Построение

Числитель и знаменатель подкоренного выражения положительны при всех
xx, поэтому D(y)=RD(y)=\mathbb R. Функция чётная и положительная.
Удобно записатьy2=x2−1+4x2+1y^2=x^2-1+\frac4{x^2+1}Отсюда следуют наклонные асимптотыy=−xприx→−∞,y=xприx→+∞y=-x\quad\text{при}\quad x\to-\infty,
\qquad
y=x\quad\text{при}\quad x\to+\inftyПоложение относительно них определяется равенствомy2−x2=3−x2x2+1y^2-x^2=\frac{3-x^2}{x^2+1}Следовательно, график пересекает прямые y=∣x∣y=|x| при
x=±3x=\pm\sqrt3, лежит выше них при ∣x∣<3|x|<\sqrt3 и ниже при
∣x∣>3|x|>\sqrt3.
Первая производная равнаy′=x(x2−1)(x2+3)(x2+1)32x4+3y'=\frac{x(x^2-1)(x^2+3)}
{(x^2+1)^{\frac32}\sqrt{x^4+3}}Её знак определяется произведением x(x2−1)x(x^2-1). Поэтому функция
убывает на (−∞,−1)( -\infty,-1), возрастает на (−1,0)(-1,0), убывает на
(0,1)(0,1) и возрастает на (1,+∞)(1,+\infty). Экстремумы:y(±1)=2,y(0)=3y(\pm1)=\sqrt2,
\qquad
y(0)=\sqrt3В точках x=±1x=\pm1 находятся глобальные минимумы, а в точке x=0x=0
--- локальный максимум.
Для второй производной получаемy′′=H(x2)(x2+1)52(x4+3)32,H(u)=−u4+20u3+18u2+36u−9\begin{aligned}
y''&=\frac{H(x^2)}
{(x^2+1)^{\frac52}(x^4+3)^{\frac32}},\\
H(u)&=-u^4+20u^3+18u^2+36u-9
\end{aligned}Исследуем число положительных корней без дополнительных алгебраических теорем. ПроизводнаяH′(u)=4u2(15−u)+36u+36H'(u)=4u^2(15-u)+36u+36положительна при 0<u⩽150<u\leqslant15. При u>15u>15 имеемH′′(u)=−12u(u−10)+36<−12⋅15⋅5+36=−864<0.H''(u)=-12u(u-10)+36<-12\cdot15\cdot5+36=-864<0.Значит, H′H' затем строго убывает от H′(15)=576H'(15)=576 до −∞-\infty и имеет ровно один нуль. Функция HH сначала строго возрастает, затем строго убывает. Так как H(0)=−9H(0)=-9, H(1)=64H(1)=64, H(20)=7911H(20)=7911, H(21)=−576H(21)=-576, у неё ровно два положительных корня u1∈(0,1)u_1\in(0,1) и u2∈(20,21)u_2\in(20,21). Знак HH отрицателен до u1u_1, положителен между корнями и отрицателен после u2u_2.

Поэтому точек перегиба четыре; их точные координаты:(±ui, ui2+3ui+1),i=1,2.\left(\pm\sqrt{u_i},\ \sqrt{\frac{u_i^2+3}{u_i+1}}\right),\qquad i=1,2.Для построения уточним интервалы. Подстановка по схеме H(u)=(((−u+20)u+18)u+36)u−9H(u)=(((-u+20)u+18)u+36)u-9 даётuH(u)0,2199−0,00286039172312010,22000,0018174420,94060,831404484051710420,9407−0,1316249028539201\begin{array}{c|r}
u&H(u)\\\hline
0{,}2199&-0{,}0028603917231201\\
0{,}2200&0{,}00181744\\
20{,}9406&0{,}8314044840517104\\
20{,}9407&-0{,}1316249028539201
\end{array}Следовательно, 0,2199<u1<0,22000{,}2199<u_1<0{,}2200 и 20,9406<u2<20,940720{,}9406<u_2<20{,}9407. Эти интервалы можно последовательно делить пополам, сохраняя разные знаки на концах. Абсциссы и ординаты вычисляются подстановкой в формулу координат, а не отдельным подбором. Знаки y′′y'' определяются точными границами u1\sqrt{u_1} и u2\sqrt{u_2}: нельзя подставлять округлённые границы в строгую таблицу знаков.

Построение графика

На общем графике проводим асимптоты y=±xy=\pm x
и отмечаем внешние точки перегиба. Увеличенный фрагмент показывает
минимумы, локальный максимум и внутренние точки перегиба . Оранжевым цветом отмечены точки перегиба.
график к задаче Демидовича № 1496*график к задаче Демидовича № 1496*

Ответ

Функция чётная; минимумы равны 2\sqrt2 при
x=±1x=\pm1, локальный максимум равен 3\sqrt3 при x=0x=0.
Асимптоты: y=−xy=-x слева и y=xy=x справа. Точки перегиба имеют
абсциссы ±u1\pm\sqrt{u_1} и ±u2\pm\sqrt{u_2}, где H(ui)=0H(u_i)=0, 0,2199<u1<0,22000{,}2199<u_1<0{,}2200, 20,9406<u2<20,940720{,}9406<u_2<20{,}9407.

Проверка

Производная подкоренной дроби равна [4x3(x2+1)−2x(x4+3)]/(x2+1)2=2x(x4+2x2−3)/(x2+1)2[4x^3(x^2+1)-2x(x^4+3)]/(x^2+1)^2=2x(x^4+2x^2-3)/(x^2+1)^2. Так как x4+2x2−3=(x2−1)(x2+3)x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3), правило производной корня даёт указанную формулу y′y'.

Проверим коэффициенты HH. Положим u=x2u=x^2 и N=x5+2x3−3xN=x^5+2x^3-3x. После дифференцирования дроби для y′y' её новый числитель равен(5u2+6u−3)(u+1)(u2+3)−u(u2+2u−3)[3(u2+3)+2u(u+1)](5u^2+6u-3)(u+1)(u^2+3)-u(u^2+2u-3)[3(u^2+3)+2u(u+1)]=(5u5+11u4+18u3+30u2+9u−9)−(5u5+12u4−2u3+12u2−27u)=H(u).=(5u^5+11u^4+18u^3+30u^2+9u-9)-(5u^5+12u^4-2u^3+12u^2-27u)
=H(u).Наконец, y−∣x∣=(y2−x2)/(y+∣x∣)=[(3−x2)/(x2+1)]/(y+∣x∣)→0y-|x|=(y^2-x^2)/(y+|x|)=[(3-x^2)/(x^2+1)]/(y+|x|)\to0: числитель ограничен, знаменатель стремится к бесконечности. Это доказывает обе прямые асимптоты.
Демидович № 1496* — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика