Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1493

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1493

Построить график функцииy=∣1+x∣32xy=\frac{|1+x|^{\frac32}}{\sqrt{x}}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=0x=0; наклонная асимптота:
y=x+32y=x+\frac32. Минимум равен 332\frac{3\sqrt3}{2} при
x=12x=\frac12. Точек перегиба нет.

Построение

Из-за знаменателя область определения равна (0,+∞)(0,+\infty). На ней
1+x>01+x>0, поэтомуy=(x+1)32xy=\frac{(x+1)^{\frac32}}{\sqrt{x}}Функция положительна иlim⁡x→0+y=+∞\lim_{x\to0+}y=+\inftyСледовательно, x=0x=0 --- вертикальная асимптота.
Первая производная имеет видy′=(2x−1)x+12x32y'=\frac{(2x-1)\sqrt{x+1}}{2x^{\frac32}}Поэтому функция убывает на (0,12](0,\frac12] и возрастает на
[12,+∞)[\frac12,+\infty). Единственный минимум равенy(12)=332y\left(\frac12\right)=\frac{3\sqrt3}{2}Вторая производная положительна на всей области определения:y′′=34x52x+1>0y''=\frac{3}{4x^{\frac52}\sqrt{x+1}}>0Следовательно, знак второй производной не меняется и точек перегиба
нет.

При x→+∞x\to+\inftyy−(x+32)⟶0y-\left(x+\frac32\right)\longrightarrow0поэтому y=x+32y=x+\frac32 --- наклонная асимптота. Для определения
положения графика сравним квадраты положительных выражений:y2−(x+32)2=34+1x>0y^2-\left(x+\frac32\right)^2
=\frac34+\frac1x>0Таким образом, график лежит выше асимптоты и не пересекает её.

Построение графика

Проводим асимптоты x=0x=0 и
y=x+32y=x+\frac32, отмечаем минимум
(12,332)\left(\frac12,\frac{3\sqrt3}{2}\right) и строим единственную
выпуклую ветвь.график к задаче Демидовича № 1493

Ответ

Вертикальная асимптота: x=0x=0; наклонная асимптота:
y=x+32y=x+\frac32. Минимум равен 332\frac{3\sqrt3}{2} при
x=12x=\frac12. Точек перегиба нет.

Проверка

По правилу произведенияy′=32x+1 x−1/2−12(x+1)3/2x−3/2=x+12x3/2[3x−(x+1)].y'=\frac32\sqrt{x+1}\,x^{-1/2}-\frac12(x+1)^{3/2}x^{-3/2}
=\frac{\sqrt{x+1}}{2x^{3/2}}[3x-(x+1)].При следующем дифференцировании общий знаменатель равен 4x5/2x+14x^{5/2}\sqrt{x+1}, а числитель — 4x(x+1)+x(2x−1)−3(2x−1)(x+1)=34x(x+1)+x(2x-1)-3(2x-1)(x+1)=3. Поэтому y′′y'' имеет указанное значение. Минимум: y(1/2)=(3/2)3/(1/2)=27/4=33/2y(1/2)=\sqrt{(3/2)^3/(1/2)}=\sqrt{27/4}=3\sqrt3/2.

Раскрытие квадратов даёт y2=x2+3x+3+1/xy^2=x^2+3x+3+1/x, (x+3/2)2=x2+3x+9/4(x+3/2)^2=x^2+3x+9/4. Следовательно,y−(x+3/2)=3/4+1/xy+x+3/2⟶0.y-(x+3/2)=\frac{3/4+1/x}{y+x+3/2}\longrightarrow0.Это одновременно обосновывает асимптоту и положение графика над ней.
Демидович № 1493 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика