Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1493

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1493

Построить график функцииy=∣1+x∣32xy=\frac{|1+x|^{\frac32}}{\sqrt{x}}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=0x=0; наклонная асимптота:
y=x+32y=x+\frac32. Минимум равен 332\frac{3\sqrt3}{2} при
x=12x=\frac12. Точек перегиба нет.

Построение

Идея

Из-за знаменателя область определения равна (0,+∞)(0,+\infty). На ней
1+x>01+x>0, поэтомуy=(x+1)32xy=\frac{(x+1)^{\frac32}}{\sqrt{x}}Функция положительна иlim⁡x→0+y=+∞\lim_{x\to0+}y=+\inftyСледовательно, x=0x=0 — вертикальная асимптота.
  1. 1
    Первая производная имеет видy′=(2x−1)x+12x32y'=\frac{(2x-1)\sqrt{x+1}}{2x^{\frac32}}Поэтому функция убывает на (0,12](0,\frac12] и возрастает на
    [12,+∞)[\frac12,+\infty). Единственный минимум равенy(12)=332y\left(\frac12\right)=\frac{3\sqrt3}{2}Вторая производная положительна на всей области определения:y′′=34x52x+1>0y''=\frac{3}{4x^{\frac52}\sqrt{x+1}}>0Следовательно, знак второй производной не меняется и точек перегиба
    нет.

    При x→+∞x\to+\inftyy−(x+32)⟶0y-\left(x+\frac32\right)\longrightarrow0поэтому y=x+32y=x+\frac32 — наклонная асимптота. Для определения
    положения графика сравним квадраты положительных выражений:y2−(x+32)2=34+1x>0y^2-\left(x+\frac32\right)^2
    =\frac34+\frac1x>0    Таким образом, график лежит выше асимптоты и не пересекает её.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=0x=0 и
    y=x+32y=x+\frac32, отмечаем минимум
    (12,332)\left(\frac12,\frac{3\sqrt3}{2}\right) и строим единственную
    выпуклую ветвь.график к задаче Демидовича № 1493

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота: x=0x=0; наклонная асимптота:
y=x+32y=x+\frac32. Минимум равен 332\frac{3\sqrt3}{2} при
x=12x=\frac12. Точек перегиба нет.
Демидович № 1493 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика