Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1484

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=(x-3)\sqrt{x}

Построение

D=[0,+\infty)

. Функция убывает на

(0,1)

, возрастает
на

(1,+\infty)

и имеет абсолютный минимум

y(1)=-2

. В точке

(0,0)

касательная вертикальна.

Построение

Корень определён при

x\geqslant0

, поэтому

D=[0,+\infty)

Нули функции:

x=0,\qquadx=3

На промежутке

(0,3)

функция отрицательна, а при

x>3

положительна.

Для

x>0

y'=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}

Поэтому функция убывает на

(0,1)

и возрастает на

(1,+\infty)

.
В точке

(1,-2)

достигается абсолютный минимум. Кроме того,

\lim_{x\to0^+}y'=-\infty

поэтому в граничной точке

(0,0)

график имеет вертикальную касательную.

Вторая производная

y''=\frac{3(x+1)}{4x^{3/2}}>0

при

x>0

. На этом интервале график лежит выше своих касательных и не имеет точек перегиба.

Из точки

(0,0)

кривая выходит с вертикальной
касательной, опускается до минимума

(1,-2)

, затем возрастает,
пересекает ось

Ox

в точке

(3,0)

и неограниченно поднимается. $график к задаче Демидовича № 1484$

D=[0,+\infty)

. Функция убывает на

(0,1)

, возрастает
на

(1,+\infty)

и имеет абсолютный минимум

y(1)=-2

. В точке

(0,0)

касательная вертикальна.

Проверка

В граничной точке вертикальную касательную проверяем непосредственно по секущим:

\frac{y(h)-y(0)}h=\frac{(h-3)\sqrt h}{h}=\frac{h-3}{\sqrt h}\longrightarrow-\infty,\qquad h\to0+.

Промежуточные вычисления производных при

x>0

y'=\sqrt x+\frac{x-3}{2\sqrt x}=\frac{3x-3}{2\sqrt x},\qquady''=\frac{3[2x-(x-1)]}{4x^{3/2}}=\frac{3(x+1)}{4x^{3/2}}.