Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1484

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=(x-3)\sqrt{x}

Построение

D=[0,+\infty)

. Функция убывает на

(0,1)

, возрастает
на

(1,+\infty)

и имеет абсолютный минимум

y(1)=-2

. В точке

(0,0)

касательная вертикальна.

Построение

Идея

Корень определён при

x\geqslant0

, поэтому

D=[0,+\infty)

Нули функции:

x=0,\qquadx=3

На промежутке

(0,3)

функция отрицательна, а при

x>3

положительна.

1
Для $x>0$ $y'=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$ Поэтому функция убывает на $(0,1)$ и возрастает на $(1,+\infty)$ .
В точке $(1,-2)$ достигается абсолютный минимум. Кроме того, $\lim_{x\to0^+}y'=-\infty$ поэтому в граничной точке $(0,0)$ график имеет вертикальную касательную.

Вторая производная $y''=\frac{3(x+1)}{4x^{3/2}}>0$ при $x>0$ . Следовательно, график всюду выпуклый вверх и не имеет точек
перегиба.
2
Построение графика
Из точки $(0,0)$ кривая выходит с вертикальной
касательной, опускается до минимума $(1,-2)$ , затем возрастает,
пересекает ось $Ox$ в точке $(3,0)$ и неограниченно поднимается. $график к задаче Демидовича № 1484$

Проверка

Ответ.

D=[0,+\infty)

. Функция убывает на

(0,1)

, возрастает
на

(1,+\infty)

и имеет абсолютный минимум

y(1)=-2

. В точке

(0,0)

касательная вертикальна.