Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1482

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1482

Построить график функцииy=x4+8x3+1y=\frac{x^4+8}{x^3+1}
ПостроениеВертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота
y=xy=x. Локальный максимум достигается при
x=α≈−2,408x=\alpha\approx-2{,}408, локальный минимум — при x=2x=2.
Точки перегиба имеют абсциссы 00,
γ1≈0,752\gamma_1\approx0{,}752 и γ2≈16,006\gamma_2\approx16{,}006.

Построение

Идея

Область определенияD=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Числитель x4+8x^4+8 положителен при всех xx, поэтому функция не имеет
нулей. Её знак совпадает со знаком x3+1x^3+1: функция отрицательна при
x<−1x<-1 и положительна при x>−1x>-1. В частности,y(0)=8y(0)=8
  1. 1
    В точке x=−1x=-1 имеем вертикальную асимптоту, причёмlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to-1^+}y=+\infty    После деления многочленов получаемy=x+8−xx3+1y=x+\frac{8-x}{x^3+1}Поэтому y=xy=x — наклонная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty. График
    пересекает её при x=8x=8.

    Производная равнаy′=x2(x4+4x−24)(x3+1)2y'=\frac{x^2(x^4+4x-24)}{(x^3+1)^2}Рассмотрим многочленP(x)=x4+4x−24P(x)=x^4+4x-24Поскольку P′(x)=4(x3+1)P'(x)=4(x^3+1), функция PP убывает до x=−1x=-1, затем
    возрастает. При этом P(−1)=−27P(-1)=-27, а на обоих концах числовой прямой
    P(x)→+∞P(x)\to+\infty. Следовательно, у PP ровно два действительных
    корня:α≈−2,408,x=2\alpha\approx-2{,}408,
    \qquad
    x=2    Отсюда исходная функция возрастает на (−∞,α)(-\infty,\alpha) и
    (2,+∞)(2,+\infty), убывает на (α,−1)(\alpha,-1) и (−1,2)(-1,2). Равенство
    y′(0)=0y'(0)=0 не меняет монотонности. Итак,y(α)≈−3,211y(\alpha)\approx-3{,}211— локальный максимум, аy(2)=83y(2)=\frac83— локальный минимум.
  2. 2
    Для контроля выпуклости вычислимy′′=−6x(x4−16x3−2x+8)(x3+1)3y''=
    \frac{-6x(x^4-16x^3-2x+8)}{(x^3+1)^3}    МногочленQ(x)=x4−16x3−2x+8Q(x)=x^4-16x^3-2x+8имеет два действительных корняγ1≈0,752,γ2≈16,006\gamma_1\approx0{,}752,
    \qquad
    \gamma_2\approx16{,}006    и не имеет других действительных корней. Действительно, производная
    Q′Q' имеет ровно один действительный корень. Для строгого подсчёта
    рассмотримQ′′(x)=12x(x−8)Q''(x)=12x(x-8)На (−∞,0)(-\infty,0) функция Q′Q' возрастает от −∞-\infty до
    Q′(0)=−2Q'(0)=-2, затем на (0,8)(0,8) убывает, а на (8,+∞)(8,+\infty)
    возрастает от Q′(8)=−1026Q'(8)=-1026 до +∞+\infty. Поэтому Q′Q' имеет
    ровно один действительный корень, а QQ сначала убывает, затем
    возрастает. НеравенстваQ(0)>0,Q(1)<0,Q(16)<0,Q(17)>0Q(0)>0,
    \qquad
    Q(1)<0,
    \qquad
    Q(16)<0,
    \qquad
    Q(17)>0    доказывают, что действительных корней ровно два.
    Точками перегиба являются(0,8),(γ1,y(γ1)),(γ2,y(γ2))(0,8),
    \qquad
    (\gamma_1,y(\gamma_1)),
    \qquad
    (\gamma_2,y(\gamma_2))    гдеy(γ1)≈5,835,y(γ2)≈16,004y(\gamma_1)\approx5{,}835,
    \qquad
    y(\gamma_2)\approx16{,}004
  3. 3

    Построение графика

    Окно расширено вправо до x≈18x\approx18, чтобы не
    потерять далёкую точку перегиба x=γ2x=\gamma_2. В этой области график
    уже очень близок к асимптоте y=xy=x, поэтому точка дополнительно отмечена
    и подписана уточнённым численным значением абсциссы.график к задаче Демидовича № 1482

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота
y=xy=x. Локальный максимум достигается при
x=α≈−2,408x=\alpha\approx-2{,}408, локальный минимум — при x=2x=2.
Точки перегиба имеют абсциссы 00,
γ1≈0,752\gamma_1\approx0{,}752 и γ2≈16,006\gamma_2\approx16{,}006.
Демидович № 1482 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика