Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1482

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1482

Построить график функцииy=x4+8x3+1y=\frac{x^4+8}{x^3+1}
ПостроениеВертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота
y=xy=x. Локальный максимум достигается при
x=α≈−2,408x=\alpha\approx-2{,}408, локальный минимум — при x=2x=2.
Точки перегиба имеют абсциссы 00,
γ1≈0,752\gamma_1\approx0{,}752 и γ2≈16,006\gamma_2\approx16{,}006.

Построение

Область определенияD=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Числитель x4+8x^4+8 положителен при всех xx, поэтому функция не имеет
нулей. Её знак совпадает со знаком x3+1x^3+1: функция отрицательна при
x<−1x<-1 и положительна при x>−1x>-1. В частности,y(0)=8y(0)=8
В точке x=−1x=-1 имеем вертикальную асимптоту, причёмlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=+\inftyПосле деления многочленов получаемy=x+8−xx3+1y=x+\frac{8-x}{x^3+1}Поэтому y=xy=x --- наклонная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty. График
пересекает её при x=8x=8.

Производная равнаy′=x2(x4+4x−24)(x3+1)2y'=\frac{x^2(x^4+4x-24)}{(x^3+1)^2}Рассмотрим многочленP(x)=x4+4x−24P(x)=x^4+4x-24Поскольку P′(x)=4(x3+1)P'(x)=4(x^3+1), функция PP убывает до x=−1x=-1, затем
возрастает. При этом P(−1)=−27P(-1)=-27, а на обоих концах числовой прямой
P(x)→+∞P(x)\to+\infty. Следовательно, у PP ровно два действительных
корня:α≈−2,408,x=2\alpha\approx-2{,}408,
\qquad
x=2Отсюда исходная функция возрастает на (−∞,α)(-\infty,\alpha) и
(2,+∞)(2,+\infty), убывает на (α,−1)(\alpha,-1) и (−1,2)(-1,2). Равенство
y′(0)=0y'(0)=0 не меняет монотонности. Итак,y(α)≈−3,211y(\alpha)\approx-3{,}211--- локальный максимум, аy(2)=83y(2)=\frac83--- локальный минимум.
Для контроля выпуклости вычислимy′′=−6x(x4−16x3−2x+8)(x3+1)3y''=
\frac{-6x(x^4-16x^3-2x+8)}{(x^3+1)^3}МногочленQ(x)=x4−16x3−2x+8Q(x)=x^4-16x^3-2x+8имеет два действительных корняγ1≈0,752,γ2≈16,006\gamma_1\approx0{,}752,
\qquad
\gamma_2\approx16{,}006и не имеет других действительных корней. Действительно, производная
Q′Q' имеет ровно один действительный корень. Для строгого подсчёта
рассмотримQ′′(x)=12x(x−8)Q''(x)=12x(x-8)На (−∞,0)(-\infty,0) функция Q′Q' возрастает от −∞-\infty до
Q′(0)=−2Q'(0)=-2, затем на (0,8)(0,8) убывает, а на (8,+∞)(8,+\infty)
возрастает от Q′(8)=−1026Q'(8)=-1026 до +∞+\infty. Поэтому Q′Q' имеет
ровно один действительный корень, а QQ сначала убывает, затем
возрастает. НеравенстваQ(0)>0,Q(1)<0,Q(16)<0,Q(17)>0Q(0)>0,
\qquad
Q(1)<0,
\qquad
Q(16)<0,
\qquad
Q(17)>0доказывают, что действительных корней ровно два.
Точками перегиба являются(0,8),(γ1,y(γ1)),(γ2,y(γ2))(0,8),
\qquad
(\gamma_1,y(\gamma_1)),
\qquad
(\gamma_2,y(\gamma_2))гдеy(γ1)≈5,835,y(γ2)≈16,004y(\gamma_1)\approx5{,}835,
\qquad
y(\gamma_2)\approx16{,}004

Построение графика

Окно расширено вправо до x≈18x\approx18, чтобы не
потерять далёкую точку перегиба x=γ2x=\gamma_2. В этой области график
уже очень близок к асимптоте y=xy=x, поэтому точка дополнительно отмечена
и подписана обозначением x=γ2x=\gamma_2.график к задаче Демидовича № 1482

Ответ

Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота
y=xy=x. Локальный максимум достигается при
x=α≈−2,408x=\alpha\approx-2{,}408, локальный минимум --- при x=2x=2.
Точки перегиба имеют абсциссы 00,
γ1≈0,752\gamma_1\approx0{,}752 и γ2≈16,006\gamma_2\approx16{,}006.

Проверка

Покажем вычисления, от которых зависят численные характерные точки. Первая производная:y′=4x3(x3+1)−3x2(x4+8)(x3+1)2=x6+4x3−24x2(x3+1)2.y'=\frac{4x^3(x^3+1)-3x^2(x^4+8)}{(x^3+1)^2}
=\frac{x^6+4x^3-24x^2}{(x^3+1)^2}.Для второй производной дифференцируем числитель N=x6+4x3−24x2N=x^6+4x^3-24x^2:y′′=(6x5+12x2−48x)(x3+1)−6x2(x6+4x3−24x2)(x3+1)3y''=\frac{(6x^5+12x^2-48x)(x^3+1)-6x^2(x^6+4x^3-24x^2)}{(x^3+1)^3}=−6x5+96x4+12x2−48x(x3+1)3=−6x(x4−16x3−2x+8)(x3+1)3.=\frac{-6x^5+96x^4+12x^2-48x}{(x^3+1)^3}
=-\frac{6x(x^4-16x^3-2x+8)}{(x^3+1)^3}.Численные корни получаем делением отрезков пополам с сохранением разных знаков на концах. Корень α\alpha многочлена P(x)=x4+4x−24P(x)=x^4+4x-24 предварительно отделён интервалом (−3,−2)(-3,-2): P(−3)=45>0P(-3)=45>0, P(−2)=−16<0P(-2)=-16<0. Для корней Q(x)=x4−16x3−2x+8Q(x)=x^4-16x^3-2x+8 используем (0,1)(0,1) и (16,17)(16,17), поскольку Q(0)=8Q(0)=8, Q(1)=−9Q(1)=-9, Q(16)=−24Q(16)=-24, Q(17)=4887Q(17)=4887.

После сужения получаем таблицу. Значения вычисляются последовательными умножениями: P(x)=x(x3+4)−24P(x)=x(x^3+4)-24, Q(x)=((x−16)x2−2)x+8Q(x)=((x-16)x^2-2)x+8.xзначение многочленамногочлен−2,4081900,00003766830648959121P−2,408189−0,000014195685503237002159P0,7524240,000008867685071431602176Q0,752425−0,000018603242746374609375Q16,005855−0,003292537285545324949375Q16,0058560,000810461700568510365696Q\begin{array}{c|r|l}
x&\text{значение многочлена}&\text{многочлен}\\\hline
-2{,}408190&0{,}00003766830648959121&P\\
-2{,}408189&-0{,}000014195685503237002159&P\\
0{,}752424&0{,}000008867685071431602176&Q\\
0{,}752425&-0{,}000018603242746374609375&Q\\
16{,}005855&-0{,}003292537285545324949375&Q\\
16{,}005856&0{,}000810461700568510365696&Q
\end{array}Следовательно,−2,408190<α<−2,408189,0,752424<γ1<0,752425,16,005855<γ2<16,005856.-2{,}408190<\alpha<-2{,}408189,
\quad0{,}752424<\gamma_1<0{,}752425,
\quad16{,}005855<\gamma_2<16{,}005856.Это обосновывает указанные в решении округления абсцисс до трёх десятичных знаков.

Ордината в любой ненулевой стационарной точке rr упрощается без численного подбора. Из r4+4r−24=0r^4+4r-24=0 следуютr4+8=4(8−r),r(r3+1)=3(8−r),r^4+8=4(8-r),\qquad r(r^3+1)=3(8-r),поэтому y(r)=4r/3y(r)=4r/3. Так получаются y(2)=8/3y(2)=8/3 и −3,210920<y(α)<−3,2109186-3{,}210920<y(\alpha)<-3{,}2109186, то есть y(α)≈−3,211y(\alpha)\approx-3{,}211.

В интервале для γ1\gamma_1 исходная функция убывает; подстановка его концов даёт 5,8349456<y(γ1)<5,83495155{,}8349456<y(\gamma_1)<5{,}8349515. В интервале для γ2\gamma_2 она возрастает и 16,0039030<y(γ2)<16,003904116{,}0039030<y(\gamma_2)<16{,}0039041. Отсюда ординаты округляются до 5,8355{,}835 и 16,00416{,}004.

Знаки второй производной: она отрицательна на (−∞,−1)(-\infty,-1), положительна на (−1,0)(-1,0), отрицательна на (0,γ1)(0,\gamma_1), положительна на (γ1,γ2)(\gamma_1,\gamma_2) и отрицательна на (γ2,+∞)(\gamma_2,+\infty). Это подтверждает все три перегиба, а точка разрыва −1-1 перегибом не является.
Демидович № 1482 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика