Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1480

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=\frac{x}{(1-x^2)^2}

ПостроениеФункция нечётная. Вертикальные асимптоты:

x=-1

x=1

; горизонтальная асимптота:

y=0

. Функция возрастает на

(-1,1)

и убывает на

(-\infty,-1)

(1,+\infty)

Построение

Идея

Область определения

D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Функция нечётная, поскольку

f(-x)=-f(x)

Единственный нуль —

x=0

. Знаменатель положителен на всей области
определения, поэтому знак функции совпадает со знаком

x

1
В точках $x=\pm1$ имеются вертикальные асимптоты. Одностороннее
поведение имеет вид $\begin{aligned}&\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,&&\lim_{x\to-1^+}y=-\infty\\&\lim_{x\to1^-}y=+\infty,&&\lim_{x\to1^+}y=+\infty\end{aligned}$ При $x\to\pm\infty$ функция стремится к нулю, поэтому $y=0$ —
горизонтальная асимптота.

Производная равна $y'=\frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3}$ Числитель всегда положителен. Следовательно, функция убывает на
$( -\infty,-1)$ и $(1,+\infty)$ , а на $(-1,1)$ возрастает.
Стационарных точек нет.

Вторая производная $y''=\frac{12x(1+x^2)}{(1-x^2)^4}$ отрицательна при $x<0$ и положительна при $x>0$ , с учётом точек
разрыва. Поэтому начало координат является точкой перегиба.
2
Построение графика
По нечётности достаточно было бы построить правую
половину и отразить её относительно начала координат. На рисунке показаны
все три ветви, вертикальные асимптоты и точка перегиба $(0,0)$ . $график к задаче Демидовича № 1480$

Проверка

Ответ. Функция нечётная. Вертикальные асимптоты:

x=-1

x=1

; горизонтальная асимптота:

y=0

. Функция возрастает на

(-1,1)

и убывает на

(-\infty,-1)

(1,+\infty)