Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1480

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1480

Построить график функцииy=x(1−x2)2y=\frac{x}{(1-x^2)^2}
ПостроениеФункция нечётная. Вертикальные асимптоты: x=−1x=-1 и
x=1x=1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Функция возрастает на
(−1,1)(-1,1) и убывает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (1,+∞)(1,+\infty).

Построение

Область определенияD=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}Функция нечётная, посколькуf(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)Единственный нуль --- x=0x=0. Знаменатель положителен на всей области
определения, поэтому знак функции совпадает со знаком xx.
В точках x=±1x=\pm1 имеются вертикальные асимптоты. Одностороннее
поведение имеет видlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=−∞lim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=+∞\begin{aligned}
&\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to-1^+}y=-\infty\\
&\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
&&\lim_{x\to1^+}y=+\infty
\end{aligned}При x→±∞x\to\pm\infty функция стремится к нулю, поэтому y=0y=0 ---
горизонтальная асимптота.

Производная равнаy′=1+3x2(1−x2)3y'=\frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3}Числитель всегда положителен. Следовательно, функция убывает на
(−∞,−1)( -\infty,-1) и (1,+∞)(1,+\infty), а на (−1,1)(-1,1) возрастает.
Стационарных точек нет.

Вторая производнаяy′′=12x(1+x2)(1−x2)4y''=\frac{12x(1+x^2)}{(1-x^2)^4}отрицательна при x<0x<0 и положительна при x>0x>0, с учётом точек
разрыва. Поэтому начало координат является точкой перегиба.

Построение графика

По нечётности достаточно было бы построить правую
половину и отразить её относительно начала координат. На рисунке показаны
все три ветви, вертикальные асимптоты и точка перегиба (0,0)(0,0).график к задаче Демидовича № 1480

Ответ

Функция нечётная. Вертикальные асимптоты: x=−1x=-1 и
x=1x=1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Функция возрастает на
(−1,1)(-1,1) и убывает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (1,+∞)(1,+\infty).

Проверка

Промежуточные вычисления по правилу произведения:y′=(1−x2)−2+4x2(1−x2)−3=1−x2+4x2(1−x2)3,y'=(1-x^2)^{-2}+4x^2(1-x^2)^{-3}
=\frac{1-x^2+4x^2}{(1-x^2)^3},y′′=6x(1−x2)+6x(1+3x2)(1−x2)4=6x(2+2x2)(1−x2)4=12x(1+x2)(1−x2)4.y''=\frac{6x(1-x^2)+6x(1+3x^2)}{(1-x^2)^4}
=\frac{6x(2+2x^2)}{(1-x^2)^4}
=\frac{12x(1+x^2)}{(1-x^2)^4}.
Демидович № 1480 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика