Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1475*

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1475*

Построить график функцииy=x2−1x2−5x+6y=\frac{x^2-1}{x^2-5x+6}
ПостроениеВертикальные асимптоты: x=2x=2, x=3x=3;
горизонтальная асимптота: y=1y=1. Экстремумы находятся в точках
(a,−10+46)\left(a,-10+4\sqrt6\right) и
(b,−10−46)\left(b,-10-4\sqrt6\right).

Построение

Разложим числитель и знаменатель:y=(x−1)(x+1)(x−2)(x−3),D(y)=R∖{2,3}y=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x-3)},
\qquad
D(y)=\mathbb R\setminus\{2,3\}Нули равны x=−1x=-1 и x=1x=1, а y(0)=−16y(0)=-\frac16.
При x=2x=2 и x=3x=3 числитель не обращается в нуль, поэтому это
вертикальные асимптоты. Односторонние пределы:lim⁡x→2−y=+∞,lim⁡x→2+y=−∞,lim⁡x→3−y=−∞,lim⁡x→3+y=+∞\begin{aligned}
&\lim_{x\to2^-}y=+\infty,
&&\lim_{x\to2^+}y=-\infty,\\
&\lim_{x\to3^-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to3^+}y=+\infty
\end{aligned}Деление числителя на знаменатель даётy=1+5x−7x2−5x+6y=1+\frac{5x-7}{x^2-5x+6}Значит, y=1y=1 --- горизонтальная асимптота; график пересекает её
при x=75x=\frac75. При x→−∞x\to-\infty функция подходит к асимптоте
снизу, а при x→+∞x\to+\infty --- сверху.
По правилу частного числитель производной равен2x(x2−5x+6)−(x2−1)(2x−5)=2x3−10x2+12x−(2x3−5x2−2x+5)=−5x2+14x−5.2x(x^2-5x+6)-(x^2-1)(2x-5)
=2x^3-10x^2+12x-(2x^3-5x^2-2x+5)
=-5x^2+14x-5.Поэтому производная равнаy′=−5x2+14x−5(x2−5x+6)2y'=\frac{-5x^2+14x-5}{(x^2-5x+6)^2}Обозначим её нули черезa=7−265,b=7+265;a≈0,420204,b≈2,379796a=\frac{7-2\sqrt6}{5},
\qquad
b=\frac{7+2\sqrt6}{5};
\qquad
a\approx0{,}420204,
\quad
b\approx2{,}379796Тогда функция убывает на (−∞,a]( -\infty,a], возрастает на
[a,2)[a,2) и (2,b](2,b], а затем убывает на [b,3)[b,3) и
(3,+∞)(3,+\infty). В точке aa находится локальный минимум, а в
точке bb --- локальный максимум средней ветви:y(a)=−10+46,y(b)=−10−46y(a)=-10+4\sqrt6,
\qquad
y(b)=-10-4\sqrt6Проверим эти ординаты. Для r=ar=a или r=br=b справедливо 5r2−14r+5=05r^2-14r+5=0. Поэтомуy(r)=14r−1025−11r=4−10r.y(r)=\frac{14r-10}{25-11r}=4-10r.Последнее равенство проверяется умножением: (4−10r)(25−11r)=100−294r+110r2=14r−10(4-10r)(25-11r)=100-294r+110r^2=14r-10. Подстановка r=(7∓26)/5r=(7\mp2\sqrt6)/5 даёт 4−10r=−10±464-10r=-10\pm4\sqrt6.

Для второй производной положим D=x2−5x+6D=x^2-5x+6, N=−5x2+14x−5N=-5x^2+14x-5. Тогдаy′′=N′D−2ND′D3=(−10x+14)(x2−5x+6)−2(−5x2+14x−5)(2x−5)D3y''=\frac{N'D-2ND'}{D^3}
=\frac{(-10x+14)(x^2-5x+6)-2(-5x^2+14x-5)(2x-5)}{D^3}=10x3−42x2+30x+34D3=2P(x)D3,P(x)=5x3−21x2+15x+17.=\frac{10x^3-42x^2+30x+34}{D^3}
=\frac{2P(x)}{D^3},\qquad P(x)=5x^3-21x^2+15x+17.Производная P′(x)=3(5x2−14x+5)P'(x)=3(5x^2-14x+5) имеет нули a,ba,b. Для любого из них из r2=(14r−5)/5r^2=(14r-5)/5 получаем r3=(171r−70)/25r^3=(171r-70)/25, а затемP(r)=171r−70−21(14r−5)+75r+855=120−48r5.P(r)=\frac{171r-70-21(14r-5)+75r+85}{5}
=\frac{120-48r}{5}.Так как a<b<12/5a<b<12/5 (использовано 6<5/2\sqrt6<5/2), оба значения больше (120−48⋅12/5)/5=24/25>0(120-48\cdot12/5)/5=24/25>0.

Многочлен PP возрастает до aa, убывает от aa до bb и затем снова возрастает. Оба его экстремума положительны. В то же время P(−1)=−24<0P(-1)=-24<0 и P(0)=17>0P(0)=17>0. Поэтому имеется ровно один вещественный корень c∈(−1,0)c\in(-1,0).

Сужаем этот интервал делением пополам и проверяем знаки по схеме Горнера P(x)=((5x−21)x+15)x+17P(x)=((5x-21)x+15)x+17:xP(x)−0,585834−0,00003645283036852−0,5858320,00005305315074816\begin{array}{c|r}
x&P(x)\\\hline
-0{,}585834&-0{,}00003645283036852\\
-0{,}585832&0{,}00005305315074816
\end{array}Отсюда −0,585834<c<−0,585832-0{,}585834<c<-0{,}585832. Подстановка концов в исходную дробь, которая на этом интервале убывает, даёт−0,0708343<y(c)<−0,0708339.-0{,}0708343<y(c)<-0{,}0708339.Точка перегиба приближённо равна (−0,5858,−0,0708)(-0{,}5858,-0{,}0708). С учётом знака D3D^3 получаемy′′<0 на (−∞,c)∪(2,3),y′′>0 на (c,2)∪(3,+∞).y''<0\text{ на }(-\infty,c)\cup(2,3),\qquad
y''>0\text{ на }(c,2)\cup(3,+\infty).Точки x=2,3x=2,3 не являются перегибами: функция в них не определена.

Построение графика

Проводим асимптоты x=2x=2, x=3x=3, y=1y=1.
Затем на трёх промежутках области определения строим ветви с учётом
односторонних пределов и найденных экстремумов. Ниже общего графика
добавлен увеличенный фрагмент левой ветви. Оранжевым цветом отмечена
точка перегиба.
график к задаче Демидовича № 1475*график к задаче Демидовича № 1475*

Ответ

Вертикальные асимптоты: x=2x=2, x=3x=3;
горизонтальная асимптота: y=1y=1. Экстремумы находятся в точках
(a,−10+46)\left(a,-10+4\sqrt6\right) и
(b,−10−46)\left(b,-10-4\sqrt6\right).
Демидович № 1475* — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика