Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1474*

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1474*

Построить график функцииy=2−x21+x4y=\frac{2-x^2}{1+x^4}
ПостроениеФункция чётная; максимум равен 22 при x=0x=0,
минимумы равны 1−521-\frac{\sqrt5}{2} при
x=±2+5x=\pm\sqrt{2+\sqrt5}; y=0y=0 — горизонтальная асимптота.

Построение

Знаменатель 1+x41+x^4 положителен при всех xx, поэтому
D(y)=RD(y)=\mathbb R. Функция чётная. Её нули и значение на оси OyOy:x=±2,y(0)=2x=\pm\sqrt2,
\qquad
y(0)=2Поскольку степень знаменателя выше степени числителя,lim⁡x→±∞y=0−,\lim_{x\to\pm\infty}y=0^{-},и прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.
По правилу дифференцирования частногоy′=−2x(1+x4)−(2−x2)4x3(1+x4)2=−2x−2x5−8x3+4x5(1+x4)2.y'=\frac{-2x(1+x^4)-(2-x^2)4x^3}{(1+x^4)^2}
=\frac{-2x-2x^5-8x^3+4x^5}{(1+x^4)^2}.После вынесения 2x2x получаемy′=2x(x4−4x2−1)(1+x4)2y'=
\frac{2x\bigl(x^4-4x^2-1\bigr)}{(1+x^4)^2}Положимα=2+5\alpha=\sqrt{2+\sqrt5}Уравнение x4−4x2−1=0x^4-4x^2-1=0 после замены t=x2t=x^2 даёт единственное
неотрицательное значение t=2+5t=2+\sqrt5. Поэтому критические точки
равны −α,0,α-\alpha,0,\alpha. Знаки производной приводят к схемеx(−∞,−α)−α(−α,0)0(0,α)α(α,+∞)y′−0+0−0+\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
x&(-\infty,-\alpha)&-\alpha&(-\alpha,0)&0&(0,\alpha)&\alpha&(\alpha,+\infty)\\ \hline
y'&-&0&+&0&-&0&+
\end{array}В точке x=0x=0 достигается максимум y=2y=2, а в точках
x=±αx=\pm\alpha --- минимумы:y(±α)=−510+45=−5(10−45)100−80=20−10520=1−52y(\pm\alpha)
=-\frac{\sqrt5}{10+4\sqrt5}
=\frac{-\sqrt5(10-4\sqrt5)}{100-80}=\frac{20-10\sqrt5}{20}=1-\frac{\sqrt5}{2}
Продифференцируем y′=N/(1+x4)2y'=N/(1+x^4)^2, где N=2x(x4−4x2−1)N=2x(x^4-4x^2-1) и N′=2(5x4−12x2−1)N'=2(5x^4-12x^2-1). Получаемy′′=2[(5x4−12x2−1)(1+x4)−8x4(x4−4x2−1)](1+x4)3.y''=\frac{2[(5x^4-12x^2-1)(1+x^4)-8x^4(x^4-4x^2-1)]}{(1+x^4)^3}.Введём t=x2≥0t=x^2\ge0. Выражение в квадратных скобках равно−3t4+20t3+12t2−12t−1=−(t+1)(3t3−23t2+11t+1).-3t^4+20t^3+12t^2-12t-1
=-(t+1)(3t^3-23t^2+11t+1).Следовательно,y′′=−2(t+1)P(t)(1+t2)3,P(t)=3t3−23t2+11t+1.y''=-\frac{2(t+1)P(t)}{(1+t^2)^3},\qquad P(t)=3t^3-23t^2+11t+1.Так как P(−1)=−36P(-1)=-36, P(0)=1P(0)=1, P(1)=−8P(1)=-8, P(8)=153P(8)=153, по непрерывности имеется по корню в (−1,0)(-1,0), (0,1)(0,1) и (1,8)(1,8). У кубического многочлена не может быть больше трёх различных корней. Значит, найденные корни единственны на этих интервалах и простые. Отрицательный корень не соответствует t=x2t=x^2; два положительных обозначим t1<t2t_1<t_2.

Для приближённого вычисления делим каждый отрезок пополам и оставляем половину, на концах которой знаки PP различны. После сужения проверяем следующие десятичные границы. Вычисления удобно выполнять по схеме P(t)=((3t−23)t+11)t+1P(t)=((3t-23)t+11)t+1:tP(t)0,5975960,0000156841186942080,597598−0,0000108666061664247,147112−0,0002110107680732167,1471140,000072916872152632\begin{array}{c|r}
t&P(t)\\\hline
0{,}597596&0{,}000015684118694208\\
0{,}597598&-0{,}000010866606166424\\
7{,}147112&-0{,}000211010768073216\\
7{,}147114&0{,}000072916872152632
\end{array}Таким образом,0,597596<t1<0,597598,7,147112<t2<7,147114.0{,}597596<t_1<0{,}597598,\qquad7{,}147112<t_2<7{,}147114.Извлечение квадратного корня даёт0,7730433<t1<0,7730447,2,6734083<t2<2,6734087.0{,}7730433<\sqrt{t_1}<0{,}7730447,\qquad
2{,}6734083<\sqrt{t_2}<2{,}6734087.Границы корней проверяются возведением указанных десятичных чисел в квадрат. Ординаты вычисляем по y=(2−t)/(1+t2)y=(2-t)/(1+t^2). Эта функция убывает на первом из найденных интервалов и возрастает на втором, поскольку её производная равна (t2−4t−1)/(1+t2)2(t^2-4t-1)/(1+t^2)^2. Подстановка концов даёт соответственно1,0333636<y<1,0333670,−0,0988286<y<−0,0988285.1{,}0333636<y<1{,}0333670,\qquad
-0{,}0988286<y<-0{,}0988285.Поэтому четыре точки перегиба приближённо равны (±0,7730,1,0334)(\pm0{,}7730,1{,}0334) и (±2,6734,−0,0988)(\pm2{,}6734,-0{,}0988). Все четыре десятичные цифры здесь подтверждены границами, а не только результатом численного поиска. При ∣x∣<t1|x|<\sqrt{t_1} вторая производная отрицательна, при t1<∣x∣<t2\sqrt{t_1}<|x|<\sqrt{t_2} положительна и при ∣x∣>t2|x|>\sqrt{t_2} снова отрицательна.

Построение графика

Строим правую половину графика по нулю
2\sqrt2, минимуму (α,1−52)\left(\alpha,1-\frac{\sqrt5}{2}\right) и
горизонтальной асимптоте y=0y=0, затем отражаем её относительно оси
OyOy. Оранжевым отмечены точки перегиба.график к задаче Демидовича № 1474*

Ответ

Функция чётная; максимум равен 22 при x=0x=0,
минимумы равны 1−521-\frac{\sqrt5}{2} при
x=±2+5x=\pm\sqrt{2+\sqrt5}; y=0y=0 --- горизонтальная асимптота.
Демидович № 1474* — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика