Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1473

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1473

Построить график функцииy=(x+1)(x−2)2y=(x+1)(x-2)^2
ПостроениеКлючевые точки графика:
(−1,0)(-1,0), (0,4)(0,4), (1,2)(1,2), (2,0)(2,0); при x=2x=2 ось
OxOx является касательной.

Построение

Идея

Область определения — R\mathbb R. Раскрывая скобки, получаемy=x3−3x2+4y=x^3-3x^2+4Нули уже видны из исходного разложения: x=−1x=-1 — простой корень,
поэтому график пересекает ось OxOx, а x=2x=2 — корень кратности
два, поэтому график касается оси.
  1. 1
    Исследуем монотонность:y′=3x2−6x=3x(x−2)y'=3x^2-6x=3x(x-2)Следовательно, функция возрастает на (−∞,0]( -\infty,0], убывает на
    [0,2][0,2] и вновь возрастает на [2,+∞)[2,+\infty). Значения в
    критических точках:y(0)=4,y(2)=0y(0)=4,
    \qquad
    y(2)=0    Значит, (0,4)(0,4) — точка локального максимума, а (2,0)(2,0) —
    точка локального минимума.

    Вторая производная равнаy′′=6x−6=6(x−1)y''=6x-6=6(x-1)Она меняет знак при x=1x=1, поэтому точка перегиба имеет координатыC(1,2)C(1,2)Кроме того,lim⁡x→−∞y=−∞,lim⁡x→+∞y=+∞\lim_{x\to-\infty}y=-\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to+\infty}y=+\infty
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем нули (−1,0)(-1,0) и (2,0)(2,0), максимум
    (0,4)(0,4), точку перегиба (1,2)(1,2). В точке (2,0)(2,0) график
    касается оси OxOx, не пересекая её. Оранжевым цветом отмечена точка
    перегиба.график к задаче Демидовича № 1473

Проверка

Ответ. Ключевые точки графика:
(−1,0)(-1,0), (0,4)(0,4), (1,2)(1,2), (2,0)(2,0); при x=2x=2 ось
OxOx является касательной.