Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1470

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1470

При каком условии уравнение

x^3+px+q=0

имеет:

а) один вещественный корень;

б) три вещественных корня?

Изобразить соответствующие области на плоскости

(p,q)

Построениеб) Уравнение имеет три различных вещественных
корня тогда и только тогда, когда

27q^2+4p^3<0

На границе

27q^2+4p^3=0

все корни вещественны, но хотя бы два из
них совпадают. Поэтому при подсчёте корней с учётом кратности условие
наличия трёх вещественных корней имеет вид

27q^2+4p^3\leqslant0

Построение

Идея

Вначале будем считать только различные вещественные корни, а случай
подсчёта с учётом кратности рассмотрим отдельно.

1
Рассмотрим функцию $F(x)=x^3+px+q$ Так как $\lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$ уравнение всегда имеет хотя бы один вещественный корень.

Производная равна $F'(x)=3x^2+p$ Если $p\geqslant0$ , функция $F$ строго возрастает на всей числовой
прямой. При $p>0$ это непосредственно следует из неравенства
$F'(x)>0$ , а при $p=0$ функция $x^3+q$ также строго возрастает.
Поэтому в этом случае имеется ровно один различный вещественный корень.

Пусть теперь $p<0$ . Введём обозначение $a=\sqrt{-\frac p3}>0$ Тогда критические точки равны $-a$ и $a$ . Функция возрастает на
$( -\infty,-a)$ , убывает на $(-a,a)$ и снова возрастает на
$(a,+\infty)$ . Следовательно, в точке $-a$ расположен локальный
максимум, а в точке $a$ — локальный минимум. Поскольку
$p=-3a^2$ , их значения равны $\begin{aligned}F(-a)&=q+2a^3\\F(a)&=q-2a^3\end{aligned}$ Три различных пересечения графика $y=F(x)$ с осью $Ox$ существуют
тогда и только тогда, когда локальный максимум положителен, а локальный
минимум отрицателен: $q+2a^3>0,\qquadq-2a^3<0$ Иными словами, $|q|<2a^3$ Так как $a^6=\left(-\frac p3\right)^3=-\frac{p^3}{27}$ получаем равносильное условие $27q^2+4p^3<0$
2
Если при $p<0$ оба экстремальных значения имеют один знак, то
график пересекает ось $Ox$ только один раз. Вместе со случаем
$p\geqslant0$ это даёт условие $27q^2+4p^3>0$ Отдельно исследуем границу областей: $27q^2+4p^3=0$ Она существует только при $p\leqslant0$ и допускает параметризацию $p=-3a^2,\qquadq=\pm2a^3,\qquad a\geqslant0$ При $a>0$ справедливы разложения $\begin{aligned}x^3-3a^2x+2a^3&=(x-a)^2(x+2a)\\x^3-3a^2x-2a^3&=(x+a)^2(x-2a)\end{aligned}$ При $a>0$ уравнение на границе имеет два различных вещественных
корня: простой и двукратный. При $a=0$ , то есть при $p=q=0$ ,
единственный различный корень $x=0$ имеет кратность три.
3
Построение графика
Обозначим $R(p,q)=27q^2+4p^3$ Полукубическая парабола $R(p,q)=0$ разделяет плоскость параметров. В заштрихованной области $R(p,q)<0$ ,
поэтому уравнение имеет три различных вещественных корня. В
незаштрихованной области $R(p,q)>0$ , поэтому имеется один простой
вещественный корень. Синяя граница соответствует кратным корням. $график к задаче Демидовича № 1470$
4
Ответ
а) При $27q^2+4p^3>0$ уравнение имеет ровно
один простой вещественный корень, а два остальных корня невещественны.
Если считать только различные решения, сюда добавляется точка
$(p,q)=(0,0)$ , в которой корень $x=0$ является трёхкратным.

Проверка

Ответ. б) Уравнение имеет три различных вещественных
корня тогда и только тогда, когда

27q^2+4p^3<0

На границе

27q^2+4p^3=0

27q^2+4p^3\leqslant0