Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1470

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1470

При каком условии уравнениеx3+px+q=0x^3+px+q=0имеет:

а) один вещественный корень;

б) три вещественных корня?

Изобразить соответствующие области на плоскости (p,q)(p,q).
ПостроениеОбозначим R=27q2+4p3R=27q^2+4p^3. При R>0R>0 имеется один простой вещественный корень; при R<0R<0 — три различных вещественных корня. На границе R=0R=0, кроме (p,q)=(0,0)(p,q)=(0,0), имеются два различных корня: один простой и один двукратный. В точке (0,0)(0,0) единственный различный корень 00 трёхкратный. Таким образом, ровно одно различное решение имеется при R>0R>0 либо (p,q)=(0,0)(p,q)=(0,0), а три вещественных корня с учётом кратности — при R≤0R\le0.

Построение

Вначале будем считать только различные вещественные корни, а случай
подсчёта с учётом кратности рассмотрим отдельно.
Рассмотрим функциюF(x)=x3+px+qF(x)=x^3+px+qТак какlim⁡x→−∞F(x)=−∞,lim⁡x→+∞F(x)=+∞\lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\inftyуравнение всегда имеет хотя бы один вещественный корень.

Производная равнаF′(x)=3x2+pF'(x)=3x^2+pЕсли p⩾0p\geqslant0, функция FF строго возрастает на всей числовой
прямой. При p>0p>0 это непосредственно следует из неравенства
F′(x)>0F'(x)>0, а при p=0p=0 функция x3+qx^3+q также строго возрастает.
Поэтому в этом случае имеется ровно один различный вещественный корень.

Пусть теперь p<0p<0. Введём обозначениеa=−p3>0a=\sqrt{-\frac p3}>0Тогда критические точки равны −a-a и aa. Функция возрастает на
(−∞,−a)( -\infty,-a), убывает на (−a,a)(-a,a) и снова возрастает на
(a,+∞)(a,+\infty). Следовательно, в точке −a-a расположен локальный
максимум, а в точке aa --- локальный минимум. Поскольку
p=−3a2p=-3a^2, их значения равныF(−a)=q+2a3F(a)=q−2a3\begin{aligned}
F(-a)&=q+2a^3\\
F(a)&=q-2a^3
\end{aligned}Три различных пересечения графика y=F(x)y=F(x) с осью OxOx существуют
тогда и только тогда, когда локальный максимум положителен, а локальный
минимум отрицателен:q+2a3>0,q−2a3<0q+2a^3>0,
\qquad
q-2a^3<0Иными словами,∣q∣<2a3|q|<2a^3Так какa6=(−p3)3=−p327a^6=\left(-\frac p3\right)^3=-\frac{p^3}{27}получаем равносильное условие27q2+4p3<027q^2+4p^3<0
Если при p<0p<0 оба экстремальных значения имеют один знак, то
график пересекает ось OxOx только один раз. Вместе со случаем p≥0p\ge0, за исключением отдельно рассматриваемой точки (p,q)=(0,0)(p,q)=(0,0), это даёт условие27q2+4p3>027q^2+4p^3>0Отдельно исследуем границу областей:27q2+4p3=027q^2+4p^3=0Она существует только при p⩽0p\leqslant0 и допускает параметризациюp=−3a2,q=±2a3,a⩾0p=-3a^2,
\qquad
q=\pm2a^3,
\qquad a\geqslant0При a>0a>0 справедливы разложенияx3−3a2x+2a3=(x−a)2(x+2a)x3−3a2x−2a3=(x+a)2(x−2a)\begin{aligned}
x^3-3a^2x+2a^3&=(x-a)^2(x+2a)\\
x^3-3a^2x-2a^3&=(x+a)^2(x-2a)
\end{aligned}При a>0a>0 уравнение на границе имеет два различных вещественных
корня: простой и двукратный. При a=0a=0, то есть при p=q=0p=q=0,
единственный различный корень x=0x=0 имеет кратность три.

Построение графика

ОбозначимR(p,q)=27q2+4p3R(p,q)=27q^2+4p^3Полукубическая параболаR(p,q)=0R(p,q)=0разделяет плоскость параметров. В заштрихованной области R(p,q)<0R(p,q)<0,
поэтому уравнение имеет три различных вещественных корня. В
незаштрихованной области R(p,q)>0R(p,q)>0, поэтому имеется один простой
вещественный корень. Синяя граница соответствует кратным корням.график к задаче Демидовича № 1470

Ответ

а) При 27q2+4p3>027q^2+4p^3>0 уравнение имеет ровно
один простой вещественный корень, а два остальных корня невещественны.
Если считать только различные решения, сюда добавляется точка
(p,q)=(0,0)(p,q)=(0,0), в которой корень x=0x=0 является трёхкратным.

Ответ

б) Уравнение имеет три различных вещественных
корня тогда и только тогда, когда27q2+4p3<027q^2+4p^3<0На границе 27q2+4p3=027q^2+4p^3=0 все корни вещественны, но хотя бы два из
них совпадают. Поэтому при подсчёте корней с учётом кратности условие
наличия трёх вещественных корней имеет вид27q2+4p3⩽027q^2+4p^3\leqslant0
Демидович № 1470 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика