Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1468

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1468

sin⁡3x⋅cos⁡x=aпри 0≤x≤π\sin^3x\cdot\cos x=a\quad\text{при }0\le x\le\pi

Решение

Рассмотрим функцию:f(x)=sin⁡3xcos⁡xf(x) = \sin^3x \cos xНайдём её производную:f′(x)=3sin⁡2xcos⁡2x−sin⁡4x=sin⁡2x(3cos⁡2x−sin⁡2x)=sin⁡2x(3−4sin⁡2x)f'(x) = 3\sin^2x \cos^2x - \sin^4x = \sin^2x(3\cos^2x - \sin^2x) = \sin^2x(3 - 4\sin^2x)На заданном отрезке [0,π][0, \pi] критические точки находим из условий:sin⁡2x=0  ⟹  x1=0,x2=π\sin^2x = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = \pi3−4sin⁡2x=0  ⟹  sin⁡2x=34  ⟹  sin⁡x=32  ⟹  x3=π3,x4=2π33 - 4\sin^2x = 0 \implies \sin^2x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x_3 = \frac{\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{2\pi}{3}Вычислим значения функции в найденных точках, а также в точке π2\frac{\pi}{2}:f(0)=0,f(π)=0,f(π2)=0f(0) = 0, \quad f(\pi) = 0, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0fmax⁡=f(π3)=(32)3⋅12=338⋅12=3316f_{\max} = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{16}fmin⁡=f(2π3)=(32)3⋅(−12)=−3316f_{\min} = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{16}Функция возрастает от 00 до 3316\frac{3\sqrt{3}}{16} на [0,π3][0, \frac{\pi}{3}], убывает до −3316-\frac{3\sqrt{3}}{16} на [π3,2π3][\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] (пересекая нуль в точке π2\frac{\pi}{2}) и возрастает до 00 на [2π3,π][\frac{2\pi}{3}, \pi].
Исследуем количество корней уравнения f(x)=af(x) = a:
Если ∣a∣>3316|a| > \frac{3\sqrt{3}}{16}, уравнение не имеет корней (00 корней).
Если a=±3316a = \pm\frac{3\sqrt{3}}{16}, уравнение имеет 11 корень.
Если 0<∣a∣<33160 < |a| < \frac{3\sqrt{3}}{16}, прямая пересекает график в двух точках, уравнение имеет 22 корня.
Если a=0a = 0, корнями являются точки x=0x = 0, π2\frac{\pi}{2} и π\pi, уравнение имеет 33 корня.

Проверка

При 0<a<33/160<a<3\sqrt3/16 корни лежат по одному в (0,π/3)(0,\pi/3) и (π/3,π/2)(\pi/3,\pi/2). При −33/16<a<0-3\sqrt3/16<a<0 они лежат по одному в (π/2,2π/3)(\pi/2,2\pi/3) и (2π/3,π)(2\pi/3,\pi). При a=33/16a=3\sqrt3/16 корень равен π/3\pi/3, при a=−33/16a=-3\sqrt3/16 — 2π/32\pi/3. Случай a=0a=0 включает оба конца исходного отрезка.
Демидович № 1468 — решение | Высшая математика — Профиматика