Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1467

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

e^x=ax^2

Решение

Идея

Очевидно, что

x = 0

не является корнем.
Если

a \le 0

, левая часть всегда положительна, а правая неположительна. Корней нет (

0

корней).
Пусть

a > 0

. Перепишем уравнение в виде:

\frac{e^x}{x^2} = a

Исследуем функцию:

f(x) = \frac{e^x}{x^2}

Найдём её производную:

f'(x) = \frac{e^x x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}

Критические точки и точки разрыва:

x = 0

x = 2

.
На интервале

(-\infty, 0)

производная

f'(x) < 0

, функция монотонно убывает от

0

до

+\infty

. Любая горизонтальная прямая

y = a > 0

пересекает эту ветвь ровно

1

раз. Значит, всегда есть ровно один отрицательный корень.
На интервале

(0, 2)

производная

f'(x) < 0

, функция монотонно убывает от

+\infty

до локального минимума.
На интервале

(2, +\infty)

производная

f'(x) > 0

, функция монотонно возрастает от локального минимума до

+\infty

.
Значение в точке минимума:

f_{\min} = f(2) = \frac{e^2}{4}

Анализируем пересечения с прямой

y = a

на интервале

(0, +\infty)

:
Если

0 < a < \frac{e^2}{4}

, положительных корней нет. Итого:

1

корень.
Если

a = \frac{e^2}{4}

, есть ровно один положительный корень. Итого:

2

корня.
Если

a > \frac{e^2}{4}

, прямая пересекает правую ветвь графика дважды. Итого:

3

корня.
Окончательно:
При

a \le 0

—

0

корней;
При

0 < a < \frac{e^2}{4}

—

1

корень;
При

a = \frac{e^2}{4}

—

2

корня;
При

a > \frac{e^2}{4}

—

3

корня.