Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1467

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1467

ex=ax2e^x=ax^2

Решение

При x=0x=0 левая часть равна 11, а правая 00, поэтому это не корень.
Если a≤0a \le 0, левая часть всегда положительна, а правая неположительна. Корней нет (00 корней).
Пусть a>0a > 0. Перепишем уравнение в виде:
exx2=a\frac{e^x}{x^2} = aИсследуем функцию:f(x)=exx2f(x) = \frac{e^x}{x^2}Найдём её производную:f′(x)=exx2−ex⋅2xx4=ex(x−2)x3f'(x) = \frac{e^x x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}Критические точки и точки разрыва: x=0x = 0 и x=2x = 2.
На интервале (−∞,0)(-\infty,0) и x−2x-2, и x3x^3 отрицательны, поэтому f′(x)>0f'(x)>0. Функция строго возрастает от предела 00 при x→−∞x\to-\infty до +∞+\infty при x→0−x\to0-. Любая горизонтальная прямая y=a>0y = a > 0 пересекает эту ветвь ровно 11 раз. Значит, всегда есть ровно один отрицательный корень.
На интервале (0,2)(0, 2) производная f′(x)<0f'(x) < 0, функция монотонно убывает от +∞+\infty до локального минимума.
На интервале (2,+∞)(2, +\infty) производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция монотонно возрастает от локального минимума до +∞+\infty.
Значение в точке минимума:fmin⁡=f(2)=e24f_{\min} = f(2) = \frac{e^2}{4}Анализируем пересечения с прямой y=ay = a на интервале (0,+∞)(0, +\infty):
Если 0<a<e240 < a < \frac{e^2}{4}, положительных корней нет. Итого: 11 корень.
Если a=e24a = \frac{e^2}{4}, есть ровно один положительный корень. Итого: 22 корня.
Если a>e24a > \frac{e^2}{4}, прямая пересекает правую ветвь графика дважды. Итого: 33 корня.
Окончательно:
При a≤0a \le 0 — 00 корней;
При 0<a<e240 < a < \frac{e^2}{4} — 11 корень;
При a=e24a = \frac{e^2}{4} — 22 корня;
При a>e24a > \frac{e^2}{4} — 33 корня.

Проверка

При a>0a>0 отрицательный корень отделён интервалом (−∞,0)(-\infty,0). Если a=e2/4a=e^2/4, положительный корень равен 22. Если a>e2/4a>e^2/4, положительные корни лежат по одному в (0,2)(0,2) и (2,+∞)(2,+\infty). Во всех случаях рассматриваются различные вещественные корни.
Демидович № 1467 — решение | Высшая математика — Профиматика