Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1465

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1465

x5−5x=ax^5-5x=a

Решение

Рассмотрим функцию:f(x)=x5−5xf(x) = x^5 - 5xУравнение имеет вид f(x)=af(x) = a. Найдём первую производную:f′(x)=5x4−5=5(x4−1)=5(x2−1)(x2+1)=5(x−1)(x+1)(x2+1)f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)Найдём критические точки:x1=−1,x2=1x_1 = -1, \quad x_2 = 1Вычислим значения функции в этих точках:fmax⁡=f(−1)=−1+5=4f_{\max} = f(-1) = -1 + 5 = 4fmin⁡=f(1)=1−5=−4f_{\min} = f(1) = 1 - 5 = -4Определим число корней по пересечению графика y=f(x)y = f(x) с горизонтальной прямой y=ay = a:
Если a<−4a < -4, прямая лежит ниже минимума, уравнение имеет 11 корень.
Если a=−4a = -4, прямая касается графика в точке минимума, уравнение имеет 22 корня.
Если −4<a<4-4 < a < 4, прямая пересекает график трижды, уравнение имеет 33 корня.
Если a=4a = 4, прямая касается графика в точке максимума, уравнение имеет 22 корня.
Если a>4a > 4, прямая лежит выше максимума, уравнение имеет 11 корень.

Проверка

Производная положительна при x<−1x<-1 и x>1x>1, отрицательна при −1<x<1-1<x<1. Значит, функция строго возрастает на двух внешних ветвях и строго убывает на средней. Вместе с непрерывностью и пределами f(x)→±∞f(x)\to\pm\infty это даёт следующее отделение корней:

при a<−4a<-4 единственный корень лежит в (−∞,−1)(-\infty,-1); при a=−4a=-4 один корень лежит в (−∞,−1)(-\infty,-1), другой равен 11; при −4<a<4-4<a<4 имеется по одному корню в (−∞,−1)(-\infty,-1), (−1,1)(-1,1) и (1,+∞)(1,+\infty); при a=4a=4 корни — −1-1 и один корень в (1,+∞)(1,+\infty); при a>4a>4 единственный корень лежит в (1,+∞)(1,+\infty).

На границах a=±4a=\pm4 корень x=∓1x=\mp1 двукратный: первая производная там нулевая, а вторая f′′(x)=20x3f''(x)=20x^3 отлична от нуля. В подсчёте учитываются различные корни.
Демидович № 1465 — решение | Высшая математика — Профиматика