Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1258.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если:

1) функция

f(x)

определена и непрерывна на сегменте

[x_0,X]

;

2)

f(x)

имеет конечную производную

f'(x)

в интервале

(x_0,X)

;

3) существует конечный или бесконечный предел

\lim_{x\to x_0+0}f'(x)=f'(x_0+0)

то существует соответственно конечная или бесконечная односторонняя
производная

f'_+(x_0)

f'_+(x_0)=f'(x_0+0)

Доказано:

f'_+(x_0)=f'(x_0+0)

Доказательство

Возьмём произвольное

x\in(x_0,X]

. Функция непрерывна на

[x_0,x]

и дифференцируема на

(x_0,x)

, поэтому по теореме Лагранжа
найдётся точка

\xi_x\in(x_0,x)

такая, что

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi_x)

При

x\to x_0+0

имеем

x_0<\xi_x<x\qquad\Longrightarrow\qquad\xi_x\to x_0+0

Следовательно,

\begin{aligned}f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0+0}&\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\=\lim_{x\to x_0+0}f'(\xi_x)&=f'(x_0+0)\end{aligned}

Рассуждение одинаково работает как для конечного предела, так и для
пределов

+\infty

или

-\infty

. Непрерывность в точке

x_0

здесь
существенна: без неё разностное отношение может определяться величиной
скачка, а не поведением производной внутри интервала.

f'_+(x_0)=f'(x_0+0)

Что и требовалось доказать