Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1246.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1246.1

Пусть

f(x)\in C^{(1)}(-\infty,+\infty)

и для любых

x

h

справедливо тождество:

f(x+h)-f(x)\equiv hf'(x)

Доказать, что

f(x)=ax+b

где

a

b

— постоянные.

Доказательство

По условию тождество справедливо для любых независимых вещественных

x

h

Поменяем переменные местами: введем замену

y = x+h

, тогда

h = y - x

Исходное тождество перепишется в симметричном виде

f(y) - f(x) = (y - x)f'(x)

Поскольку переменные

x

y

равноправны и тождество должно выполняться для любой пары чисел, мы можем поменять их роли, получив

f(x) - f(y) = (x - y)f'(y)

Сложим эти два уравнения

0 = (y - x)f'(x) + (x - y)f'(y)

Вынесем общий множитель за скобки

0 = (y - x)(f'(x) - f'(y))

Для любого случая, когда

x \ne y

, первый множитель не равен нулю, на него можно смело поделить

f'(x) - f'(y) = 0 \implies f'(x) = f'(y)

Из этого следует, что производная функции принимает одно и то же значение во всех точках числовой прямой, то есть является константой
Обозначим эту константу через

a

f'(x) = a

В исходном тождестве положим

x=0

h=t

. Тогда

f(t)-f(0)=tf'(0)=at

. Обозначив

b=f(0)

и переименовав

t

x

, получаем

f(x) = ax + b

Что и требовалось доказать