Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1232.2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1232.2

Доказать формулуd2ndx2n(sin⁡xx)=(2n)!x2n+1[Cn(x)sin⁡x−Sn(x)cos⁡x]\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=\frac{(2n)!}{x^{2n+1}}[C_n(x)\sin x-S_n(x)\cos x]гдеCn(x)=1−x22!+⋯+(−1)nx2n(2n)!C_n(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}Sn(x)=x−x33!+⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!S_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Доказательство

Применим формулу Лейбница для нахождения 2n2n-й производной произведения функций u=sin⁡xu = \sin x и v=x−1v = x^{-1}:(sin⁡x⋅x−1)(2n)=∑k=02n(2nk)(sin⁡x)(2n−k)(x−1)(k)\left(\sin x \cdot x^{-1}\right)^{(2n)} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} (\sin x)^{(2n-k)} (x^{-1})^{(k)}Известно, что производные этих функций имеют вид:(sin⁡x)(p)=sin⁡(x+πp2)(\sin x)^{(p)} = \sin\left(x + \frac{\pi p}{2}\right)(x−1)(k)=(−1)kk!x−k−1(x^{-1})^{(k)} = (-1)^k k! x^{-k-1}Подставим их в сумму и разобьём её на две части: по чётным индексам k=2mk=2m (где m=0,1,…,nm=0, 1, \ldots, n) и по нечётным индексам k=2m−1k=2m-1 (где m=1,2,…,nm=1, 2, \ldots, n).
Для чётных индексов k=2mk=2m:
Производная синуса равна sin⁡(x+π(2n−2m)2)=sin⁡(x+π(n−m))=(−1)n−msin⁡x\sin\left(x + \frac{\pi (2n-2m)}{2}\right) = \sin(x + \pi(n-m)) = (-1)^{n-m} \sin x.
Подставим в слагаемое суммы:(2n)!(2m)!(2n−2m)!(−1)n−msin⁡x⋅(−1)2m(2m)!x−2m−1=(2n)!sin⁡x(−1)n−m(2n−2m)!x−2m−1\frac{(2n)!}{(2m)!(2n-2m)!} (-1)^{n-m} \sin x \cdot (-1)^{2m} (2m)! x^{-2m-1} = (2n)! \sin x \frac{(-1)^{n-m}}{(2n-2m)!} x^{-2m-1}Сделаем замену индекса j=n−mj = n-m. Когда mm пробегает значения от 00 до nn, индекс jj пробегает те же значения от nn до 00. Слагаемое примет вид:(2n)!sin⁡x(−1)j(2j)!x−2(n−j)−1=(2n)!x2n+1sin⁡x((−1)jx2j(2j)!)(2n)! \sin x \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{-2(n-j)-1} = \frac{(2n)!}{x^{2n+1}} \sin x \left( (-1)^j \frac{x^{2j}}{(2j)!} \right)Суммируя по всем jj от 00 до nn, получаем первую часть формулы:(2n)!x2n+1sin⁡x∑j=0n(−1)jx2j(2j)!=(2n)!x2n+1Cn(x)sin⁡x\frac{(2n)!}{x^{2n+1}} \sin x \sum_{j=0}^{n} (-1)^j \frac{x^{2j}}{(2j)!} = \frac{(2n)!}{x^{2n+1}} C_n(x) \sin x
Для нечётных индексов k=2m−1k=2m-1:
Производная синуса равна sin⁡(x+π(2n−2m+1)2)=sin⁡(x+π(n−m)+π2)=(−1)n−mcos⁡x\sin\left(x + \frac{\pi (2n-2m+1)}{2}\right) = \sin\left(x + \pi(n-m) + \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^{n-m} \cos x.
Подставим в слагаемое суммы:(2n)!(2m−1)!(2n−2m+1)!(−1)n−mcos⁡x⋅(−1)2m−1(2m−1)!x−2m\frac{(2n)!}{(2m-1)!(2n-2m+1)!} (-1)^{n-m} \cos x \cdot (-1)^{2m-1} (2m-1)! x^{-2m}Упростим, учитывая, что (−1)2m−1=−1(-1)^{2m-1} = -1:−(2n)!cos⁡x(−1)n−m(2n−2m+1)!x−2m-(2n)! \cos x \frac{(-1)^{n-m}}{(2n-2m+1)!} x^{-2m}Сделаем замену индекса j=n−m+1j = n-m+1. Когда mm изменяется от 11 до nn, индекс jj изменяется от nn до 11.
Заметим, что n−m=j−1n-m = j-1, 2n−2m+1=2j−12n-2m+1 = 2j-1, а 2m=2n−2j+22m = 2n-2j+2. Слагаемое примет вид:−(2n)!cos⁡x(−1)j−1(2j−1)!x−(2n−2j+2)=−(2n)!x2n+1cos⁡x((−1)j−1x2j−1(2j−1)!)-(2n)! \cos x \frac{(-1)^{j-1}}{(2j-1)!} x^{-(2n-2j+2)} = -\frac{(2n)!}{x^{2n+1}} \cos x \left( (-1)^{j-1} \frac{x^{2j-1}}{(2j-1)!} \right)Суммируя по всем jj от 11 до nn, получаем вторую часть формулы:−(2n)!x2n+1cos⁡x∑j=1n(−1)j−1x2j−1(2j−1)!=−(2n)!x2n+1Sn(x)cos⁡x-\frac{(2n)!}{x^{2n+1}} \cos x \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \frac{x^{2j-1}}{(2j-1)!} = -\frac{(2n)!}{x^{2n+1}} S_n(x) \cos xСкладывая результаты для чётных и нечётных индексов, окончательно получаем:d2ndx2n(sin⁡xx)=(2n)!x2n+1[Cn(x)sin⁡x−Sn(x)cos⁡x]\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{(2n)!}{x^{2n+1}}[C_n(x)\sin x - S_n(x)\cos x]Что и требовалось доказать.

Проверка

Равенство рассматривается при x≠0x\ne0, где определена замена t=1/xt=1/x, и при существовании всех указанных производных.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1232.2 — решение | Высшая математика — Профиматика