Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1232.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1232.1

Доказать формулуdndxn(xnln⁡x)=n!(ln⁡x+∑k=1n1k),x>0\frac{d^n}{dx^n}(x^n\ln x)
=n!\left(\ln x+\sum_{k=1}^{n}\frac1k\right),
\qquad x>0

Доказательство

Докажем формулу методом математической индукции.

База индукции

При n=1n=1 найдём первую производную:(xln⁡x)′=x′ln⁡x+x(ln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1(x \ln x)' = x' \ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1Подставляя n=1n=1 в формулу, получаем:1!(ln⁡x+11)=ln⁡x+11! \left( \ln x + \frac{1}{1} \right) = \ln x + 1Формула верна.

Индукционный переход

Предположим, что формула справедлива для некоторого натурального n−1n-1:(xn−1ln⁡x)(n−1)=(n−1)!(ln⁡x+∑k=1n−11k)\left(x^{n-1} \ln x\right)^{(n-1)} = (n-1)! \left( \ln x + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right)Докажем её для числа nn. Представим дифференцируемую функцию в виде xnln⁡x=x⋅(xn−1ln⁡x)x^n \ln x = x \cdot (x^{n-1} \ln x) и применим формулу Лейбница для nn-й производной:(x⋅xn−1ln⁡x)(n)=x⋅(xn−1ln⁡x)(n)+n⋅1⋅(xn−1ln⁡x)(n−1)\left(x \cdot x^{n-1} \ln x\right)^{(n)} = x \cdot \left(x^{n-1} \ln x\right)^{(n)} + n \cdot 1 \cdot \left(x^{n-1} \ln x\right)^{(n-1)}Второе слагаемое мы знаем из индукционного предположения. Найдём nn-ю производную функции xn−1ln⁡xx^{n-1} \ln x, продифференцировав (n−1)(n-1)-ю:(xn−1ln⁡x)(n)=[(n−1)!(ln⁡x+∑k=1n−11k)]′=(n−1)!(1x+0)=(n−1)!x\left(x^{n-1} \ln x\right)^{(n)} = \left[ (n-1)! \left( \ln x + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right) \right]' = (n-1)! \left( \frac{1}{x} + 0 \right) = \frac{(n-1)!}{x}Подставим всё в формулу Лейбница:(xnln⁡x)(n)=x⋅(n−1)!x+n⋅(n−1)!(ln⁡x+∑k=1n−11k)\left(x^n \ln x\right)^{(n)} = x \cdot \frac{(n-1)!}{x} + n \cdot (n-1)! \left( \ln x + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right)Упростим выражение, учитывая, что n⋅(n−1)!=n!n \cdot (n-1)! = n!:(xnln⁡x)(n)=(n−1)!+n!(ln⁡x+∑k=1n−11k)\left(x^n \ln x\right)^{(n)} = (n-1)! + n! \left( \ln x + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right)Вынесем n!n! за скобки (представив (n−1)!(n-1)! как n!n\frac{n!}{n}):(xnln⁡x)(n)=n!(1n+ln⁡x+∑k=1n−11k)=n!(ln⁡x+∑k=1n1k)\left(x^n \ln x\right)^{(n)} = n! \left( \frac{1}{n} + \ln x + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right) = n! \left( \ln x + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right)Индукционный переход доказан. Формула справедлива для любого nn.

Что и требовалось доказать